Feller/Odermann, S. 239.
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Terminrechnung. (Reductionsrechnung, Zeitrechnung)

Es ist für mehrere zu verschiednen Zeiten fällige Kapitale, eine mittlere, gemeinschaftliche od. Durchschnittsverfallzeit zu finden, zu welcher, ohne Nachtheil für Gläubiger u. Schuldner, die Zahlung dieser Kapitalien auf einmal geleistet werden kann.

Dabei zu unterscheiden:

I) Die Kapitalien sind unverzinslich.

II) Sie sind bis zu ihrer Rückzahlung zu verzinsen, wobei die Zinsfüsse gleich od. ungleich sein können.|

133

I)  Feller/Odermann, S. 239.
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Unverzinsliche Kapitalien.

1) Die Kapitale sind gleich.

Welches ist die gemeinschaftliche Verfallzeit für 6 gleiche Kapitalien von je 900 Th., resp. zahlbar in 4, 5, 7, 9, 10, 14 Monaten?

Man addire die verschiednen Zeiten u. dividire die Summe durch die Anzahl der Kapitalien.

4+5+7+9+10+14 6 49/6 = 81/6 Mt. gemeinschaftliche Verfallzeit.

α) Die Zinsen von der Summe der Kapitalien in der gemeinschaftlichen Verfallzeit – dieß beweist die Richtigkeit der Operation, sind = der Zinsbetrag der Kapitalien in den verschiednen Zeiträumen.

Z.B. Zinsfuß sei = 4%.

900 Th. in 4 Mt. = 12 Th.
900 5 = 15
900 7 = 21
900 9 = 27
900 10 = 30
900 14 = 42
Summe der Zinsen = 147 Th.
u. ebenso 4500 5400 Th. in 81/6 Mt. à 4% = 147 Th. Zin.  Die folgende Berechnung des Zwischenschritts von Marx.
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Da:
100 : 5400 = 4 : x
12 : 81/6
x = 5400×(8+(1/6))×4 1200 5400×(8+(1/6)) 300

β) Vier Tratten, jede von 1800f., am 7 April ausgestellt, 14 Tage, 1 Mt., 7 Wochen dato u. pr. Ende Juni, sollen unter eine gemeinschaftliche Verfallzeit gebracht werden.

Zuvörderst die Verfallzeit jeder Tratte zu ermitteln. Die erste fällig am 21 April, die 2te am 7 Mai, die 3te 26 Mai, 4 am 30 Juni.

Um nun die Anzahl Tage zu finden, welche jede Tratte noch zu laufen hat, kann man rechnen:

1) vom Tag der Ausstellung, 2) vom Tag der frühsten Verfallzeit, u. 3) von willkührlich angenommnen Zeitpunkt, der natürlich die frühste Verfallzeit nicht überschreiten darf.

1) Vom Tag der Ausstellung. (1 Mt = 30 Tage) 2) Vom Tag der frühsten Verfallzeit. 3) Von beliebigem Zeitpunkt, z.B. Tag des Empfangs des Trattenavises, say 15 April.
vom 7 April bis 21 April = 14 Tage Von 21 April bis 21 April = 0 Tage Vom 15 April bis 21 April = 6 Tage
7 Mai = 30 7 Mai = 16 7 Mai = 22
26 = 49 26 = 35 26 = 41
30 Juni = 83 30 Juni = 69 30 Juni = 75
176 Tage. 120 Tage. 144 Tage.
176 Tage dividirt durch 4 = 44 Tage, vom 7 April = 21 Mai 120 T. div. durch 4 = 30 Tage. 21 April = 21 Mai. 144 Tage dividirt durch 4 = 36 T. Vom 15 April = 21 Mai.

2) Die Kapitalien sind ungleich.

Dieß meist der Fall in der kaufmännischen Praxis. Die Rechnungsweise darauf gegründet, daß z.B. 100 Th. in 9 Mt so viel Zinsen geben als 9 × 100 in 1 Mt.

Ein Kommissionair in London hat für fremde Rechnung folgende Verkäufe gemacht:

£250 am 8 Mai. Ziel 3 Mt.
135 29 Mai 3
220 23 Juni 2
196 10 Juli 2
104 21 Juli 8 Tage.

Am 24 Juli will er seinem Committenten Verkaufsrechnung mit gemeinschaftlicher Verfallzeit für die einzelnen Verkäufe ertheilen. Wann tritt diese gemeinschaftliche Verfallzeit ein?

Zunächst die Verfallzeit jedes einzelnen Postens zu ermitteln, u. es finden sich resp. folgende Verfallzeiten: 8 August, 29 August, 23 August, 10 Sept., 29 Juli.

Um nun die Zahl der Tage zu ermitteln, die jeder Posten noch zu laufen hat, kann man vom 24 Juli (Datum der Verkaufsrechnung) od. vom 29 Juli (frühste Verfallzeit) rechnen.

α) Vom Datum der Verkaufsrechnung. (24 Juli) β) Von frühster Verfallzeit. (29 Juli.)
Vom 24 Juli bis 8 August = 14 Tage Vom 29 Juli. bis 8 August = 9 Tage
29 = 35 29 = 30
23 = 29 23 = 24
10 Sept. = 46 10 Sept. = 41
29 Juli = 5 29 Juli = 0

Hierauf multiplicirt man jedes dieser Kapitalien mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die so erhaltnen Produkte u. dividirt ihre Summe durch die Summe der Kapitalien. Quotient giebt die Zahl der Tage, nach deren Ablauf, von dem Tag an gerechnet, wovon man ausgegangen ist, die gemeinschaftliche Verfallzeit eintrat.

α) £250 × 14 = 3500 β) 250 × 9 = 2250
135 × 35 = 4725 135 × 30 = 4050
220 × 29 = 6380 220 × 24 = 5280
196 × 46 = 9016 196 × 41 = 8036
104 × 5 = 520
905 = 24,141 905 [=] 19,616
 Zwischenschritt von Marx.
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24,141 905
= 27 Tage ca
 Zwischenschritt von Marx.
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19616 905
= 22 T. ca. Von 29 Juli. = 21 August.
24 Juli = 21 August gemeinschaft. Verfallzeit.

Die Summe der erhaltnen Producte bildet ein Kapital welches auf 1 Tag ausgelegt ist.

Die Summe der erhaltnen Producte dividirt durch die Summe der Kapitalien bildet ein Kapital welches auf 1 × x Tag ausgeliehn ist.

 Zu diesem Absatz lässt sich keine Entsprechung in der Quelle finden. Wahrscheinlich Kommentar von Marx.
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Wenn 100 Th. auf 3 Mt ausgeliehn = 3 × 100 Th. auf 1 Monat ausgeliehn, so 3×100 100 = auf 3 Mt ausgeliehnes Kapital von 100. Die Richtigkeit zeigt sich durch die Zinsenrechnung für jeden einzelnen Posten.



II)  Feller/Odermann, S. 242.
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Verzinsliche Kapitalien.

Ist der Zinsfuß gleich für alle Kapitalien, so kommt er nicht weiter in Betracht; daher dieser Fall wie die obigen zu behandeln.

Die Zinsfüsse sind ungleich: Es seien zu zahlen:

400 Th. in 4 Mt., bis dahin zu verzinsen à 5%
200 6 4
400 8 31/2
800 9 6%.

Wann u. zu welchem Zinsfuß können diese Kapitalien auf einmal abgetragen werden?|

134

1. Auflösung.

Man multiplicirt jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, addirt die dadurch erhaltnen Produkte, u. dividirt deren Summe durch die Summe der Kapitalien. Der Quotient ist der mittlere Zinsfuß.

Jedes der gedachten Produkte multiplicirt man hierauf mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die so erhaltnen Produkte u. dividirt ihre Summe durch die Summe der aus Kapital × Zinsfuß erhaltnen Zahlen. Der Quotient ist die mittlere Verfallzeit.

α) Auffindung des mitt. Zinsfusses. β) Auffindung der gemeinsch. Verfallzeit.
4 × 5 = 20 20 × 4 = 80
2 × 4 = 8 8 × 6 = 48
4 × 31/2 = 14 14 × 8 = 112
8 × 6 = 48 48 × 9 = 432
18 dividirt in 90 90 dividirt in 672
= 5% mittlerer Zinsfuß. = 77/15. Gemeinschaftliche Verfallzeit.

Die Kapitalien in α) u. β) durch 100 abgekürzt.  Zusatz von Marx.
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Sonst hätte man z.B. in α) erhalten 9000/180090/18.

 Zusammenfassende Bemerkung von Marx.
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Durch das Multipliciren α) der Kapitalien mit Zinsfuß u. deren darauffolgende Addition (der Produkte) erhält man 1 Kapital zu 1% ausgeliehn. Und 18 : 90 = 1% : x. x = 90/18 etc. u. durch die Multiplication der Produkte der Kapitalien × Zinsfuß (wie 20 etc) × der Zeit erhält man 1 Kapital, das zu 1 Mt ausgeliehn ist etc

Die Probe:

α) 400 Th. 4 Mt. à 5% = 62/3 Th. β) 1800 Th. in 77/15 Mt. Verfallzeit à 5% γ) 67200 Th. à 1% in 1 Mt.
200 6 4 = 4 1800×(7+7/15)) 240 = 56 Th. Zinsen. 67200×1 1200 = 56 Th. Z.
400 8 31/2 = 91/3
800 9 6 = 36
1800 Th. = 56 Th. Zinsen.

2. Auflösung.

Man multiplicirt erst die Kapitalien mit der Zeit u. dividirt die Summe der Produkte durch die Summe der Kapitalien. Der erhaltne Quotient ist die mittlere Verfallzeit. Jedes dieser Produkte wird hierauf mit dem ihm zugehörigen Zinsfuß multiplicirt, u. die Summe der so erhaltnen Produkte durch die Summe der Produkte aus Kapital u. Zeit dividirt. Der Quotient ist der mittlere Zinsfuß.

α) Auffindung der mittleren Verfallzeit. β) Berechnung des mittleren Zinsfusses.
4 × 4 = 16 16 × 5 = 80
2 × 6 = 12 12 × 4 = 48
4 × 8 = 32 32 × 31/2 = 112
8 × 9 = 72 72 × 6 = 432
18 in 132 = 71/3 Mt. mittlere Verfallzeit. 132 in 672 = 51/11% mittlerer Zinsfuß

Nach dieser Rechnung Verfallzeit kürzer u. Zinsfuß grösser als 1)[.] Da aber Zeit u. Zinsfuß stets in indirektem Verhältniß stehn, so ergiebt sich die Richtigkeit des Resultats:

Je grösser der Zinsfuß (51/11%) im Vergleich zu 5%, desto kleiner die Zeit (51/11 : 5 = 77/15 : x. x = 71/3 Mt.)

Oder: Je kleiner die Zeit (71/3 Mt) im Vergleich zu 77/15 Mt., desto grösser der Zinsfuß (71/3 : 77/15 = 5% : x. x = 51/11%.

Daher auch die Zinsen von 1800 Th. in 71/3 Mt. à 51/11% = Zinsen von 1800 Th. in 77/15 Mt. à 5%.

Ob übrigens 1800 Th. in dem angeführten Beispiel in 2, 3, od. 4 Mt. u.s.w. zurückgezahlt werden, gleichgültig. Jedes Kapital trägt bis zu seiner Rückzahlung die Zinsen nach seinem Zinsfuß u. wird mit diesen Zinsen zurückgezahlt. Aufsuchung eines mittleren Zahlungstermins u. Zinsfusses für mehrere verzinsliche Kapitalien erscheint daher überhaupt überflüssig.

Es ist bereits bemerkt worden, daß jedes zu einer bestimmten Zeit bezahlbare Kapital, wenn nicht bis dahin verzinst, ist als ein Werth anzusehn, der die Zinsen einschließt für die Zeit, welche das Kapital noch zu laufen hat. Darauf begründet sich die Berechnung des Disconts nach dem Zinsfuß auf 100. Von dieser Ansicht aus, Verfahren verändert für Auffindung des mittleren Zahlungstermins für mehrere, zu verschiednen Zeiten fällige, bis dahin aber nicht zu verzinsende Kapitalien.

Gläubiger u. Schuldner haben sich zuvörderst über einen Zinsfuß zu vereinigen, grade so als ob die später zahlbaren Kapitale discontirt werden sollten. Nach diesem Zinsfuß bestimme man den Baarwerth der Kapitalien, addire die erhaltnen Beträge u. ziehe deren Summe von der Summe der später zahlbaren Kapitalien ab. Die Differenz bildet den Betrag der Zinsen, welchen die baaren Werthe in den gegebnen Zeiten gebracht haben würden. Nun fragt man: Wie lange müßte die Summe der baaren Werthe ausstehn, um die gefundne Differenz als Zinsen einzubringen? Die so erhaltne Zeit = die Gemeinschaftliche Verfallzeit der Kapitale.

Z.B. 824 Th. fällig in 6 Mt.
860 15
648 16, sollen auf einmal abgetragen werden?  Anmerkung von Marx.
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6% Zinsen als current Zinsfuß genommen
2332 Th.

Man ermittle zunächst den Baarwerth der einzelnen Kapitale.

12 (Mt.) : 6 Mt. = 6% : x. x = 3%. 103 : 824 = 100 : x. x = 800 Th.
12 : 15 = 6 : x. x = 71/2%. 1071/2 : 860 = 100 : x. x = 800
12 : 16 = 6 : x. x = 8%. 108 : 648 = 100 : x. x = 600

Summe der Kapitalien = 2200 Th.
Baarer Werth von 2332 Th. Also = 2200 Th.
und: 2332 – 2200 = 132 Th. Zinsen.

Wieviel Zeit nöthig um diese 132 Th. Zinsen mit 2200 Th. à 6% zu gewinnen?

2200 Th : 100 Th. = 12 Mt. : x
6% : 132 Zinsen
x = 12 Monate. Dieser die gesuchte Mittlere Verfallzeit.

Ermittelt man die mittlere Verfallzeit, auf die im kaufmännischen Verkehr üblige Zeit übliche Weise, so hat man:

824 × 6 = 4944
860 × 15 = 12,900
648 × 16 = 10,368
2332 in 28,212 = 12,57/583 Mt. gemeinschaftlicher Zahlungstermin.

Dieß Verfahren richtig, so lange der Kaufmann den Discont nach dem Satze vom 100 berechnet, also jedes später fällige, bis zum Eintritt derVerfallzeit aber nicht zu verzinsende Kapital nicht als einen Werth ansieht, der die Zinsen einschließt, sondern als einen solchen mit welchem die Zinsen erst verdient werden sollen. Folgende Berechnung zeigt, daß das Verfahren auf einer Discontirung der Kapitalien nach dem Satz vom 100 beruht: (Rechnung zu 6%)

Für 824 Th. p. 6% p. 6 Mt. = 24,72 Th.
860 15 = 64,15 64,50
648 16 = 51,48 51,84 Th
2332 Th. = 141,06 Discont.

 Zusatz von Marx.
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Nun vergleiche man.
Wie lang 2332 Th. zu laufen?, wenn der à 6% berechnete Discont = 141,06 Th?

2332 : 100 = 12 Mt. : x
6 : 141,06
x =  28212 2332 = 1257/583 Mt.

Verfallzeit hier später – Discontsatz vom 100 giebt grössren Discont; also um ihn zu verdienen, mehr Zeit erforderlich.


Inhalt:

  • Inhaltsverzeichnis von Friedrich Engels
  • 1869 I Heft
  • Money Market. 1868.
  • Money Market Review. Jahrgang 1868.
  • The Economist. Jahrgang 1868. Nachträge
    • The Economist. Jahrgang 1868.
    • Inhaltsregister für 1868 Jahrgang. („Money Market Review“ und „Economist“.)
    • Kommentar zu George Joachim Goschen
      • George J. Goschen: The Theory of the Foreign Exchange. 7th edit. London 1866.
      • Friedrich Ernst Feller, Carl Gustav Odermann: Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik
      • Inhalt.