a) Zinsen nach Jahren.

Wenn Zinsfuß auf 1 Jahr berechnet u. die Zinsen eines gegebnen Kapitals für 1 Jahr zu berechnen sind, so kommt, die Zeit nicht in Betracht u. es handelt sich nur um Aufsuchung der Procente vom 100. Wäre der Zinsfuß ein monatlicher, so multiplicirt man ihn × 100, wodurch er auf einen jährlichen reducirt wird.

Wie viel die jährlichen Zinsen von 843 834 Th. à 3%?

Sind die Zinsen für mehrere Jahre zu berechnen, so geschieht die Berechnung zunächst für 1 Jahr u. das erhaltene Resultat wird dann mit der Anzahl der Jahre multiplicirt. Oder man multiplicirt den Zinsfuß mit der Anzahl der Jahre; so ist 41/2% in 2 J. = 41/2× 2% = 9% in 1 J.; od. = 1% in 9 Jahren.

b) Zinsen nach Monaten.

Man rechnet nach Jahr; nimmt dann aus diesem Resultat denselben Theil, welchen die gegebnen Monate aus einem J. bilden. Oder Monate als Bruch vom Jahr betrachtet, Zinsfuß × mit diesem Bruch.

Oder Regel Multiplex anzuwenden.

Zinsen von 429 Th. à 31/2% in 19 Monaten?

c) Zinsen nach Wochen.

früher (vor 1851) in Augsburg unter den Bankiers üblich.

d) Zinsen nach Tagen.

Im kaufmännischen Verkehr Zinsen meist nach Tagen gerechnet. Dabei nimmt man 1 J. = 360 T., jeden Monat = 30 T. Selbst wenn man bei Ermittlung der Anzahl Tage, für welche die Zinsen zu berechnen sind, jeden Monat zu der Anzahl der Tage berechnet, die er wirklich hat, versteht sich doch der Zinsfuß immer für 360 T. Ausnahmen: England, Englische Colonien, u. Amerika. Hier versteht sich der Zinsfuß für 365 T. Man rechnet also auch jeden Monat zu der Anzahl der Tage, die er wirklich hat.

Demnach ist für jeden Fall, wo die Zinsen nach Tagen zu berechnen sind, dreifache Lösung möglich, wie folgt für: Zins von 1832 Th. à 4% von 7 Feb. bis 11 Sept. 1855?

Der Wahrheit  Zusatz von Marx.
Schließen (!) kommt man am nächsten u. auch am bequemsten zu 360 T. = Jahr, u. Monat = 30 T.

Wenn man den Hauptansatz

mit dem Zinsfuß in 360 × 100 = 36,000 dividirt, so erhält man, da die meisten der im Handel gebräuchlichen Zinsfüsse ohne Rest in 36,000 enthalten sind, einen Quotienten, den man folgendermaassen zur Zinsenberechnung benutzt: Man multiplicirt das Kapital mit den Tagen und dividirt das Produkt durch den Quotienten, den der Zinsfuß giebt.

 Die Rechnung ist ein Zusatz von Marx.
Schließen Nämlich: x = $\frac{\mathrm{Gegebnes\; Kapital\; \times \; mit\; gegebnen\; Tagen\; \times \; mit\; Zinsfuß}}{\mathrm{100\; (Kapital)\; \times \; 360\; Tage}}$ = (Gegebnes Kap. × gegeb. Tage.) × mit $\frac{\mathrm{Zinsfuß}}{\mathrm{36000}}$ = $\frac{\mathrm{Geg.\; Kapit.\; \times \; Gg.\; Tage}}{\mathrm{36000/Zinsfuß}}$.

Diese als Divisoren zu benutzenden Quotienten sind z.B. für 1% = $\frac{\mathrm{36000}}{1}$ = 36000. für 4% = $\frac{\mathrm{36,000}}{4}$ = 9000. etc

Z.B. Zinsen von 948 Th. à 4% in 148 Tagen? $\frac{\mathrm{948\times 148}}{\mathrm{9000}}$ = 15 Th. 18 Sgr.

Berechnung von Zinsen mehrerer Kapitalien.

α) Gleicher Zinsfuß u. Gleiche Zeit: Addirt die Kapitalien. Berechnet von der Summe in gewöhnlicher Weise.

Zins von 960 Th, 430 Th., 500 Th. u. 1250 Th. in 9 Monaten à 4%?

Summe der Kapit. = 3140 Th. à 9 Mt. à 4% = 94,2 Th.

β) Ungleicher Zinsfuß u. Gleiche Zeit:  Feller/Odermann, S. 211: Die Berechnung
Schließen Methode beruht auf dem Grundsatz, daß Zinsen von 100f. à 5% = Zins. von 500f. à 1%; Zinsen von 100f. in 4 Mt. = Zinsen von 400f. in 1 Mt, ferner Zinsen von 100f. à 4% in 3 J. = Zinsen von 4 × 3 × 100 fcs. in 1 J. Man multiplicirt daher jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, wodurch Kapitalien entstehn, die à 1% ausgeliehn sind, u. berechnet nun von deren Summe die Zinsen für die gegebne Zeit.

Z.B. Zinsen von 920 Th. à 4%, 760 Th. à 3%, 184 Th. à 31/2% in 11/2 Jahren?

γ) Gleicher Zinsfuß u. Ungleiche Zeit: Die gegebnen Zeiten auf gleiche Benennung zu bringen; hierauf multiplicirt man jedes Kapital mit der ihm zugehörigen Zeit, wodurch Kapitalien entstehn, von deren Summe die Zinsen für 1 Zeit, d.h. für 1 J., 1 Mt. u.s.w. zu berechnen sind.

Z.B. Zinsen für 900f. in 7 Mt., 840f. in 61/2 Mt., 650f. in 3/4 J., u. 1245f. in 20 T. à 5%?

 Eigene Berechnung des Zwischenschritts von Marx.
Schließen Nämlich:

δ) Ungleicher Zinsfuß u. Ungleiche Zeit. Man bringt die Zeitbestimmungen auf gleiche Benennung, multiplicirt jedes Kapital × seiner Zeit u. seinem Zinsfuß, berechnet von der Summe der Produkte Zinsen à 1% für 1 Zeit.

Beispiel: Wie viel beträgt Zinssumme von 490 Mc. Banco à 3% in 9 Mt, 860 à 4% in 11/4 J;

642 à 6% in 65 T.; 2000 à 3/8 pr. Ct. p. Mt in 10 Monaten?

Beispiele.

Wie groß Kapital, dessen jährliche Zinsen à 5% 165 Th. betragen?: 5 : 165 = 100 : x. x = 3300 Th. Oder da 165/5 = 33, so muß das Kapital = 33 × 100 = 3300 sein.

Welches Kapital bedarf man, um à 5% dieselben Zinsen zu geben, welche 3200f. à 4% geben? 5 : 4 = 3200 : x; x = 2560f. Je grösser der Zinsfuß, desto kleiner das Kapital.

Welches Kapital bringt in 4 J. dieselben Zinsen, wie 1680 M.B. in 3 J.? 4 J. : 3 = 1680 : x; x = 1260. Je mehr Zeit, desto weniger Kapital.

Welches Kapital brachte in 4 Monaten, à 5%, 64f. Zinsen?

Beispiele.

Zu welchen Zinsen (x%) ist ein Kapital von 450 Th. ausgeliehn, dessen jährliche Zinsen 18 Th.? 450 : 100 = 18 : x. x = 4%. Direkt: Je kleiner Kapital (100) desto kleiner Zinsen. Indirekt: Je grösser Kapital (450), desto kleiner Zinsen.

Zu welchem Zinsfuß muß ein Kapital ausgeliehn werden, das in 9 Mt. dieselben Zinsen geben soll, die es in 11/4 J. zu 3% gegeben hat? 9 Mt. : 15 = 3% : x. x = 5%. Indirekt: Je weniger Zeit, desto grösser Zinsfuß.

Zu wie viel % müssen 960f. ausgeliehn werden, wenn sie in derselben Zeit die Zinsen geben sollen, wie 840f. à 6%? 960 : 840 = 6 : x. x = 51/4%. Indirekt: Je grösser Kapital, desto kleiner Zinsfuß.

Zu wie viel % ist ein Kapital ausgeliehn, das 120 Th. Zinsen bringt, während es früher à 5%, 1331/3 Th. Zinsen gab? 1331/3 : 120 = 5 : x. x = 41/2%. Direkt: Je weniger Zinsen, desto kleiner Zinsfuß.

Wenn man in 41/2 J. von 850f. Kapital 153f. Zinsen erhoben hat, zu welchem Zinsfuß war dieß Kapital ausgeliehn?

Wenn von 450 Th. in 11/2 J. dieselben Zinsen erhoben werden, das Kapital von 765 Th. in 9 Monaten à 6% gab, zu wie viel % erstres Kapital ausgeliehn?

Beispiele.

Wie lang stand ein Kapital aus, das 54 Th. Zinsen gab, wenn gleich grosses andres Kapital in 31/4 J. 52 Th. Zinsen brachte? Direkt: Je mehr Zinsen, desto mehr Zeit. 52 Th. : 54 Th. = 31/4 J. : x. x = 33/8 J.

Welcher Zeitlänge bedarf man, um bei gleichem Zinsfuß mit 364f. Kapital so viel Zinsen zu gewinnen, als mit 390f. in 91/3 Monaten?: 364 : 390 = 91/3 Mt : x. x = 10 Mt. Indirekt: Je weniger Kapital, desto mehr Zeit.

Wie viel J. müssen 1000 M.B. ausstehn, um à 4% ebenso viel Zinsen zu geben, als sie à 41/2% in 2 J. 8 Mt. gebracht haben? 4% : 41/2% =  Jahres- von Marx in Monatsangaben umgerechnet.
Schließen 32 Mt : x. x = 36 Mt. od. 3 J. Indirekt: Je kleiner Zinsfuß, desto mehr Zeit.

Wie lange haben 2650 Th. ausgestanden, wenn Zinsen davon à 41/2% 397 Th. 15 Sgr. betragen?

Wie lange müssen 1960 Th. ausstehn, eh sie à 3% dieselben Zinsen bringen, wie 1260 à 31/2% in 91/3 Mtn?

Ein Kapital von 1780 Mark Banco gab in 225 T. 44 M.B. 8β Zinsen. Wie lange müssen 1125 M.B. ausstehn, um 361/2 M.B. Zinsen zu geben?

a) Gleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten.

Man addirt die verschiednen Zinsfüsse u. dividirt ihre Summe durch die Anzahl der Kapitalien.

Welches ist der mittlere Zinsfuß von 4 gleichen Kapitalien zu 3, 31/2, 4 od. 5%? x = $\frac{\mathrm{3+3,5+4+5}}{4}$ = $\frac{\mathrm{15,5}}{4}$ = 37/8%.

b) Ungleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten.

Jedes Kapital ist hier mit dem ihm zugehörigen Zinsfuß zu multipliciren, u. die Summe dieser Producte durch die Summe der Kapitalien zu dividiren. Der Quotien Quotient = mittlere Zinsfuß.

Welches ist der mittlere Zinsfuß folgender auf 3 Monate ausgeliehner Kapitalien:

2000 Th. à 3%, 4000 Th à 4%, 6000 à 41/3% u. 1500 Th. à 6%?

Probe.

Aber 13,500 zum mittleren Zinsfuß von 42/9% = 1421/2 Th.

Der Grund dieses Verfahrens: Multiplicirt man jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, so verwandelt man dadurch sämmtliche Beträge in Kapitalien gelegt à 1%, u. es kommt die Verschiedenheit der Zinsfüsse nicht mehr in Betracht. Da nun aber der Zinsfuß nicht für die Summe der Producte, sondern für die Summe der Kapitalien gefunden werden soll, so hat man folgenden Regel de Trisatz zu bilden: Summe der Kap. : Summe der Producte = 1% : x, oder da 1 nicht multiplicirt, x = $\frac{\mathrm{Summe\; d.\; Producte}}{\mathrm{Summe\; d.\; Kapitalien}}$.

(da: Je kleiner das Kapital, desto grösser der Zinsfuß.)

c) Gleiche Kapitalien u. Ungleiche Zeiten.

Erst macht man die Zeiten gleichnamig, wenn sie es nicht schon sind. Dann multiplicirt man den Zinsfuß jeden Kapitals mit der ihm zugehörigen Zeit, u. d. dividirt die Summe der Producte durch die Summe der Zeiten.

Von 4 gleichen Kapitalien ist A auf 6 Mt. à 4%, B auf 5 Mt. à 3%, C auf 4 Mt. à 41/2% u. D auf 1/4 J. à 5% ausgeliehn. Welches ist der mittlere Zinsfuß dieser Kapitalien?  Anmerkung von Marx.
Schließen 1/4 J. = 3 Mt. Also D auf 3 Mt. à 5%.

Probe

Jedes der 4 gleichen Capitalien sei = 600

 Kommentar von Marx.
Schließen ⦗Nehmen wir die Summe der Monate = 18 u. dividiren sie durch die Anzahl der verschiednen Zeiten, = 4, so Durchschnitt = 18/4 = 41/2 Mt. In dieser Durchschnittsumlaufzeit bringt die Summe der Kapitalien = 600 × 4 = 2400 à 4%, 36 Th.⦘ Die Probe ist anders; daß jedes einzelne Kapital für seine Umlaufszeit zum mittleren Zinsfuß berechnet wird. Es zeigt sich dann:

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d) Ungleiche Kapitalien, Ungleiche Zeiten.

Da in diesem case, neben dem durchschnittlichen Zinsfuß eine mittlere Verfallzeit aufzufinden ist, gehört dieß in die später kommende Terminrechnung (Sieh p. [132–134)]