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Feller/Odermann, S. 162.
Schließen Procentrechnung.

100 als Maaßstab für arithmetische Verhältnisse. Es handelt sich um die Procentrechnung: 1) Aufsuchung der von einem gegebnen Werth nach Maaßstab eines bestimmten Procentsatzes zu nehmenden Procente, ohne Rücksicht darauf, wie sie sich auf den Werth, auf den sie sich beziehn, etwa einwirken. 2) Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentfuß veränderten Werths, bestehe die Veränderung in Vermehrung od. Verminderung des gegebnen Werths. 3) Aufsuchung des Werths, von welchem gewisse Procente berechnet worden sind. 4) Aufsuchung des Procentfusses.

Der Werth, oder das Kapital, von welchem Procente gerechnet werden sollen, entspricht jedoch nicht immer vollkommen der Normalzahl 100.

Z.B. Jemand sagt: Eine Waare kostet mit Inbegriff von 10% Unkosten 51/2 Th. So entsprechen diese 51/2 Th. nicht dem Maaßstab 100, weil die 10% ursprünglich auf kleinren Werth als 51/2 Th. berechnet, auf einen Geldwerth, ehe man diese 10% Unkosten hinzurechnete. Solche Werthe wie diese 51/2 Th. können ein um die Procente vermehrtes Kapital heissen.

Ein andrer sagt: Ich habe diese Waare, nach Abzug von 2% für baare Zahlung, mit 4f. 30xr bezahlt. Diese 4f. xr entsprechen dem Maaßstab 100 nicht. Die 2% sind auf einen Werth berechnet, der vorhanden war, bevor die 2% abgezogen wurden. Daher können die 4f. 30xr ein um die Procente vermindertes Kapital heissen.

Es fragt sich also stets, ob der gegebne oder zu suchende Werth rein, vermehrt, oder vermindert ist.

Dieser dreifachen Beschaffenheit des gegebnen od. zu suchenden Werths entsprechen 3 Procentsätze, vom Hundert, auf Hundert, im Hundert.

Procente vom 100: 100 = 3. Procente auf 100: 103 = 3. Procente im Hundert: 97 = 3.

I) Feller/Odermann, S. 164.
Schließen Aufsuchung der Procente allein.

a) Der reine Werth ist gegeben. (Procente vom 100.)

Wieviel betragen 4% von 1975 Th. u. 6% von 1812f.?


100 : 1975 = 4 : x	100 : 1812 = 6 : x
x = 79 Th.	x = 108,72f.

b) Der vermehrte Werth ist gegeben. (Procente auf 100)

Wenn 1545 Th. eine Vermehrung von 3%, u. 1920f. 72 cts. eine Vermehrung eine von 6% einschliessen, wieviel beträgt diese Vermehrung, od. die Procente auf 100 von diesen Kapitalien?


103 : 1545 = 3 : x		106 : 1920,72 = 6 : x
x = 45 Th.	Anmerkung von Marx. Schließen Es stecken in den 1545 Th. 45 Th. Pr. Cent.	x = 108,72 fcs.

Alle Procentsätze vom hundert, die einen bequemen Theil von 100 geben, bilden auch einen Theil auf 100 + dem Procentsatz, wenn sie als Procente auf 100 benuzt werden. Man findet diesen Theil, wenn man zu dem Nenner des Bruchtheils, den der Procentsatz vom 100 bildet, den Zähler desselben Bruchs addirt.

Z.B. 61/4% vom 100 = 1/16; ist auf 100 = 1/16+1 = 1/17. 371/2 vom 100 = 3/8; auf Hundert = 3/8+3 = 3/11.

c) Der verminderte Werth ist gegeben. (Procente im 100.)

Wenn ein Werth durch Abrechnung von 3% auf 582 Th., u. ein andrer durch Abrechnung von 31/2% auf 239 Fcs. 32 cts. vermindert worden, wie viel diese Verminderung? od. wieviel von diesen Werthen die Procente im 100?


97 : 582 = 3 : x	961/2: 239,32 = 31/2: x
x = 18 Th.	x = 8,68 Fcs.

Alle Procentsätze, die vom u. auf 100 einen bequemen Theil aus dem Capital bilden, können auf dieselbe Weise als Procente im 100 benutzt werden. Man findet diesen Theil, wenn man von dem Nenner des Bruchs, den sie vom 100 bilden, den Zähler desselben Bruchs abzieht.

Z.B. 81/3% vom 100 = 1/12. Dann 81/3% im 100 = 1/12–1 = 1/11.

II) Feller/Odermann, S. 169.
Schließen Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentsatz veränderten Werths.

Ist der zur Veränderung gegebne Werth rein, dann wird er nach dem gegebnen Procentsatz vom 100 vermehrt od. vermindert.

Schließt der Werth die Vermehrung nach dem gegebnen Procentsatz bereits ein, so soll er auf seinen ursprünglichen Werth reducirt, also nach dem gegebnen Procentsatz (auf 100) vermindert werden.

Ist der gegebne Werth nach dem gegebnen Procentsatz vermindert, so soll er auf seinen ursprünglichen Werth reducirt, also nach demselben Procentsatz (im 100) vermehrt werden.

a) Der reine Werth ist gegeben.

Wieviel betragen 978 Th., um 3% vermehrt od. vermindert?


978			978
+29,34	= 3%	= 1007,34 Th. (10 Sgr.)	–29,34	= 3%	= 948,66 Th. (20 Sgr.)

b) Der vermehrte Werth ist gegeben.

Wie groß waren 1) 2054 Th. und 2) 1925£ 11s., ehe sie resp. um 3% u. 371/2% vermindert wurden?


103 : 2054 = 100 : x
x = 1994 Th. 5 Sgr.

Selbständige Anwendung einer bei Feller/Odermann, S. 171, erwähnten Regel durch Marx.
Schließen In dem 2t Beispiel unnütz die Regel de Tri anzuwenden, weil 371/2% = 3/11 des Werths. Also:


1925£ 11s.
525. 3 = – 3/11 aus 1925£ 11s.
1400£. 8

c) Der verminderte Werth ist gegeben.

Wie groß waren 1) 582 Th., bevor sie um 3% 2) u. 16011/4 Th., bevor sie um 61/4% vermindert wurden?


1) 97 : 582 = 100 : x	2) 16011/4 Th.
x = 600 Th.	1063/4 Th. = + Feller/Odermann, S. 172: 1/15 Schließen 1/16 (16011/4), Zusatz von Marx, der hier fälschlicherweise Feller/Odermann korrigieren will. Schließen da 61/4 = 1/16
	1708 Th.

III) Aufsuchung des Werths von welchem gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.

Neben den Procenten muß hier auch der Procentsatz gegeben sein, wonach die Berechnung der Procente erfolgt ist. Dann ist die Frage:

Wenn der Procentsatz das ihm entsprechende Grundkapital (100, 100 + %, 100 – %) erfordert, welchen Werth erfordern die gegebnen Procente?


Von welchen Beträgen ist gerechnet worden	75 Th. à 6% vom 100? 1)
	78f. à 3% auf 100? 2)
	(à 31/2%–) 8f. 68 cts. im Hundert? 3)


ad 1.) 6 : 75 = 100 : x	ad 2) 3 : 78 = 103 : x	ad 3) 31/2: 8,68 = 961/2: x
x = 1250 Th.	x = 2678f.	x = 239,32 fcs.

IV) Aufsuchung des Procentsatzes.

Obgleich auch hier ein reines, vermehrtes od. vermindertes Kapital gegeben sein kann, so ist hier doch nur der Procentsatz vom 100 aufzusuchen. Denn Procentsatz vom 100 wird nur dadurch Procentsatz auf od. im 100, daß er sich auf einen nach demselben Procentsatz vermehrten od. verminderten Werth bezieht. Also bleibt der Procentsatz überall derselbe, u. nur die Beschaffenheit des Kapitals ist es, die den Unterschied bewirkt.|

126

a) Wenn man an 175 Th. einen Gewinn od. Verlust von 7 Th. hat, wie viel Procent beträgt dieß? Das reine Kapital ist gegeben, also PCte vom 100.


175 : 100 = 7 : x
x = 4%.

b) Wenn von 126 M.B. 12β abgezogen werden 24 M.B. 9β, wie viel PCt auf 100 beträgt dieß? Das vermehrte Kapital ist gegeben.

Man fragt also: wieviel geben 100, wenn 102 M.B. 3β ⦗126 M.B. 12β ÷ 24.9⦘ geben 24 M.B. 9β?


1023/16: 100 = 249/16: x
x = 24%.

Oder wenn in 182 Rth ein Gewinn von 7 Th. steckt, wie viel Procent beträgt dieß: (182 ÷ 7) : 100 = 7 : x. und x = 4%.

c) Wenn ein Kapital durch einen Verlust von 7 Th. auf 168 Th. reducirt ist, wie viel % beträgt der Verlust? Vermindertes Kapital gegeben. Procente im 100.


(168 + 7) : 100 = 7 : x
x = 4%.

Oft sind die Procente nicht geradezu gegeben, sondern müssen erst aus den gegebnen Werthen gefunden werden.

Wenn statt 950 Thl. bezahlt werden 988 od. 912: wie viel Procent mehr od. weniger bezahlt?

950 : 100 = 38 ⦗= 988 – 950. (950 – 912)⦘ : x. x = 4%.

Wenn man statt 3463 M.B. 1β nur 3186 M.B. 14β bezahlt, wie viel % auf 100 beträgt der Verlust? Abzug = 3463 M.B. 1 – 3186.14 = 276 M.B. 3β.

Also: 31867/8: 100 = 2763/16: x. x = 82/3%.

Wieviel % im 100 beträgt es, wenn statt 1875f. berechnet werden 2000f? Die Verrechnung im 100 = 2000–1875 = 125f. Also:


2000 : 100 = 125 : x.
x = 61/4%.

Manchmal wird statt von 100 von 1000 gerechnet ‰, besonders in der Wechselcourtage oder Sensarie.

Verwandlung eines Procentsatzes in den andern.

Wie viel % vom 100 betragen 12% auf 100? 112 : 100 = 12 : x. x = 105/7%.

Wieviel % auf 100 betragen 5% vom 100? 95 : 100 = 5 : x. | x = 55/19%.

Wieviel % vom 100 betragen 4% im 100? 96 : 100 = 4 : x. | x = 41/6%.

Wie viel Pct im 100 betragen 4% vom 100? 104 : 100 = 4 : x | x = 311/13%.

Anwendung der Procentrechnung.

Feller/Odermann, S. 180. Marx lässt das bei Feller/Odermann eigentliche a) Berechnung von Provision, Courtage, Assecuranzprämie usw. aus.
Schließen a) Gewinn- u. Verlustrechnung.

α) Wie viel gewinnt od. verliert man an Waare, zu 15 Th. eingekauft, mit 6% Gewinn od. 6% Verlust verkauft? | 15 Th. reines Kapital. Procente vom 100. | 1% = 0,15 Anmerkung von Marx.
Schließen (100ste Theil von 15) 6% = 0,9 Thl.

β) Wieviel beträgt der im Verkaufspreis von 15,9 Th. enthaltne Gewinn, à 6%? 15,9 = Vermehrtes Kapital. Procente auf 100. Also: 106 : 15,9 = 6 : x. x = 0,9 Thaler.

γ) Wieviel der durch den Verkaufspreis von 14,1 Rth hervorgebrachte Verlust à 6%? 14,1 Th. = vermindertes Kapital, also Procente im 100. ∴ 94 : 14,1 = 6 : x | x = 0,9 Thl.

Beispiele.

1) Wie ist Waare mit 15 Th. gekauft mit 6% Gewinn od. Verlust zu verkaufen?


15 Th = Reines Kapital. Also Vermehrung od. Verminderung auf % vom 100.
100 : 15 = 106 : x.	x = 15,9. Oder: 6 : 0,9 = 106 : x = 15,9 Th.
100 : 15 = 94 : x	x = 14,1 Th. 6 : 0,9 = 94 : x. x = 14,1 Th.

2) α) Wenn der an einem Verkauf gemachte Gewinn oder Verlust à 6% = 0,9 Th., wieviel beträgt der Einkauf?


Das Einkaufskapital ist reines Kapital. Also Procente vom 100. Der Ansatz ist in beiden Fällen derselbe.
6 : 0,9 = 100 : x. x = 15 Th.

2) β) Der Verkaufspreis ist 15,9 Th. u. enthält 6% Gewinn. Wie viel kostet die Waare im Einkauf?


15,9 Th. vermehrtes Kapital, also % auf 100.
106 : 15,9 = 100 : x. x = 15 Th.

2) γ) Verkaufspreis, ca 6% Verlust, = 14,1 Th. Wie viel kostet die Waare im Einkauf?


14,1 Th. vermindertes Kapital, also % im 100.
94 : 14,1 = 100 : x. x = 15 Th.

3) α) Einkaufspreis = 15 Th. Darauf Gewinn od. Verlust 0,9 Th. Wie viel Procent beträgt dieß?


Kapital in beiden Fällen 15 Th. reines Kapital, Procente von 100.
15 : 100 = 0,9 : x. x = 6%.

β) Verkaufspreis von 15,9 Th. enthält Gewinn von 0,9. Wie viel % enthält derselbe?


15,9 vermehrtes Kapital, also % auf 100.
15,9 – 0,9 oder 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6%.

γ) Verkaufspreis von 14,1 Th. enthält Verlust von 0,9 Th. Wie viel % beträgt derselbe?


14,1 Th. vermindertes Kapital, also % im 100.
14,1 + 0,9 Zwischenschritt von Marx. Schließen = 15. 15 : 100 = 0,9 : x . x = 6%.

Man hätte auch für β) u. γ) sagen können.

β) 15 : 100 = 15,9 : x. x = 106 Th.

γ) 15 : 100 = 14,1 : x. x = 94 Th.

Hier die % im Feller/Odermann, S. 181: Grundcapitale
Schließen Gesammtwerth versteckt. So viel mehr > 100% Gewinn etc.

Um obige Fragen durch einfache Regel de Trisätze lösen zu können, müssen Einkaufs- u. Verkaufspreis in derselben Valuta (Geldwährung) bestimmt sein u. sich auf dieselbe Quantität beziehn. Wo nicht dieß der Fall, vorherige Reductionen nöthig. Oder Kettensatz anzuwenden.

Beispiel.

1 Ctr (à 100lb) kostet im Einkauf 30f. Man verkauft 1lb mit 24xr. | Zusatz von Marx.
Schließen 1fl. = 60xr. | Wie viel % beträgt Gewinn od. Verlust?

Erste Rechnungsart.

Kostet 1 Ctr = 30f., so 1lb = 18xr. Man gewinnt also 6xr mit 24xr 18xr. Wie viel mit 100?

18 : 100 = 6 : x. x = 331/3%.

Zweite Rechnungsart.

Verkauft man 1lb mit 24xr, so ein Ctr mit 40f. Man gewinnt also 10f. mit 30fc. Wie viel mit 100?

30 : 100 = 10 : x. x = 331/3%.

Dritte Rechenart durch Kettensatz.


x f. Verkauf = 100f.	Einkauf.
30 = 100lb.
1 = 24xr	Verkauf
60 = 1f.	Verkauf
Also x = $\frac{10000×24}{600×3}$ = $\frac{100×24}{6×3}$ = $\frac{400}{3}$ = 1331/3 Verkauf. Die %331/3 hier im Gesammtwerth versteckt.

Unter obigen Voraussetzungen wird der Einkaufspreis eines Centners gesucht?


x f. Einkauf = 1 Ctr
1 Ctr = 100lb.
1 = 24xr
60 = 1f.
1331/3 = 100f. Einkauf.	x = 30f.

Ein andrer Fall ist, wenn aus einem Verkaufspreis, wobei gewisse Procente Verlust od. Gewinn, ein Verkaufspreis mit gewissen Procenten Gewinn od. Verlust gesucht werden soll, oder aus einem, Gewinn od. Verlust schon einschliessenden Verkaufspreis ein solcher zu finden ist, welcher erhöhte Procente in sich faßt.

Hier kann man entweder, wie früher gezeigt, zuerst den Einkaufspreis u. dann den Verkaufspreis nach Maßgabe der zu gewinnenden oder zu verliernden % suchen,

Oder jeden dieser Fälle in einem Regel de Tri Satz berechnen, Zusatz von Marx.
Schließen wie folgende Beispiele zeigen. (Verte) |

127

Beispiele.

1) Waare verkauft zu 15 Th. mit Verlust von 10%. Wie zu verkaufen, um 5% zu gewinnen? 90 : 15 = 105 : x. x = 171/2 Th.

2) Waare verkauft zu 171/2 Th., wobei 5% Gewinn. Wie ist sie mit 10% Gewinn zu verkaufen? 105 : 171/2 = 90 : x. x = 15 Th.

3) Waare verkauft zu 171/2 Th mit 5% Gewinn. Wie zu 8% Gewinn zu verkaufen? 105 : 171/2 = 108 : x. x = 18 Th.

4) Waare verkauft zu 15 Th. mit 10% Verlust. Wie zu verkaufen, wenn man 20% verlieren muß? 90 : 15 = 80 : x. x = 131/3 Th.

Um jedoch reinen Gewinn oder Verlust auf ein Geschäft berechnen zu können, Zinsen zu berechnen auf die Zeit, worin das Anlagekapital nicht benutzt werden kann.

b) Feller/Odermann, S. 186.
Schließen Rabattrechnung. (Rabbattere ital.)

Bedeutet eigentlich. Rabatt – einen Wiederabzug des vorher zu einem gewissen Betrag hinzugefügten. Im Allgemeinen aber Rabatt = jeden, meist procentweis berechneten Abzug, entweder als Vergütung für frühere Zahlung (Discont) od. als einen besondern oft nur scheinbaren Vortheil, der gewährt wird, oder Abzug den Käufer für Mangelhaftigkeit der Waare macht (Decort).

Das Kapital, von welchem der Rabatt genommen werden soll, heißt das rabattirende; das von welchem er bereits genommen ist, das rabattirte Kapital.

Beispiele. aufgesuch(?)

Wie viel der Rabatt von 1207 Th. à 3% u. 61/4 vom u. auf 100?

Aufsuchung der Procente. Aufsuchung der Procente.


[a)] 12,07 × 3 = 36,21 Th.	[b)] 103 : 1207 = 3 : x. x = 3516/103 Th.
[c)] 1207 div. durch 16 = 757/16 Th.	[d)] 1207 div. durch 17 = 71 Th.

Wie viel betragen 1207 Th. nach Abzug obiger Rabattprocente? Aufsuchung des rabattirten Kapitals?


[a)] 1207 – 36,21 (= 3%) = 1170,79 Th.	[b)] 1207 – 757/16 (= 1/16 aus 1207) = 1131 9/16 Th.
[c)] 103 : 1207 = 100 : x. x = 117187/103 Th.	[d)] 1207 – 71 (= 1/17 aus 1207) = 1136 Th.

Von welchem Kapital rechnete man: 36,21 Th. à 3% und 757/16 Th. à 61/4% vom 100; 3516/103 à 3% u. 71 Th. a 61/4% auf 100?

Aufsuchung des zu rabattirenden Kapitals?


[a)] 3 : 36,21 = 100 : x. x = 1207 Th. 757/16 × 16 = 1207 Th.
[b)] 3 : 3516/103 = 103 : x. x = 1207 Th. 71 × 17 = 1207 Th.

Die Usanz Rabatten sind Feller/Odermann, S. 188: scheinbarer Vortheil
Schließen reine Charlatanerie. Ob sie vom od. auf 100 berechnet, sie sind dem Verkaufspreis schon hinzugefügt.

Z.B. Stück Waare mit dem gewöhnlichen Profit inclusive kostet 20 Th. Wie stellt Verkäufer den Preis, je nachdem er 5% Rabatt auf 100 od. vom 100 gewährt?


Wenn auf 100:	100 : 105 = 20 : x;	Wenn von 100:	95 : 100 = 20 : x
	x = 21 Th.		x = 211/19 Th.

Im zweiten Fall erhält er statt des Verkaufspreises von 100 nur 95; statt 95 muß er 100 fordern. Im ersten Fall erhält er statt 105 nur 100; statt 100 muß er also 105 fordern.

Kommentar von Marx.
Schließen Wenn das Vieh nun ohne den Rabatt trick für 20 Th. 20 Th. forderte, wäre all the same.


10 Stück à 20 Th. ohne Rabatt		= 200 Th.
10 St. à 21 Th. mit 5% Rabatt auf 100	= 210.
Ab 5% = 1/21 des Betrags	= 10	= 200 Th.
10 St. à 211/19 Th. mit 5% Rabatt vom 100	= 210 Th. 10/19
ab 5% = 1/20 des Betrags	= 10 Th. 10/19	= 200 Th.

Für den Verkäufer völlig gleich, ob er Waare ohne Rabatt, mit 5% auf 100, od. mit 5% vom 100 verkauft, wenn er nur den Preis danach stellt. Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
Schließen Usanzmässige Rabatte Humbug, wenn nicht Vergütungen für baare Zahlung. Hätte man hier vom Preis von 21 Th. p. Stück nach 5% vom 100 verkauft = 1/20 des Kapitals = 11/20 Th., so erhielte man für das Stück nur 1919/20 Th., also 1/20 Verlust. Dieser Verlust bildet genau den Rabatt à 5% vom 100 auf den eigentlich zu bewilligenden Rabatt von 1 Th. (100 : 1 = 5 : x = 1/20 Th.)

In der Praxis nicht immer so genau unterschieden, u. mancher Irrthum bei der Feststellung von Preisen mit Rabatt begangen.

Der Rabatt, welchen die Verlagsbuchhändler dem Sortimentsbuchhändler auf den Laden- od. ordinären Preis geben, wird stets vom 100 gerechnet, u. ist die einzige Vergütung, die der Sortimentsbuchhändler für Unkosten, Zeit u. Mühe hat. Dieser Rabatt wird von 10–331/3% berechnet. Der Preis eines Buches nach Abzug des Rabatts ist sein Nettopreis.