Feller/Odermann, S. 153.
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Alligationsrechnung.

1) Entweder will man den Werth od. die Einheit einer Mischung finden, die aus gegebnen Theilen von ungleichem Werth od. ungleicher Qualität hergestellt wird – den Durchschnitts- od. Mittelwerth; dieß ist Durchschnittsrechnung.

2) Oder man will wissen, in welchem Verhältniß gegwisse gewisse gegebne Qualitäten gemengt werden müssen, damit die Einheit des Gemischs einen gleichfalls gegebnen Mittelwerth habe.

Hier ist also der Mittelwerth schon gegeben u. es ist zu berechnen, auf welche Weise er herzustellen ist.

Ad 1) Die Summe der Werthe sämmtlicher Bestandtheile der Mischung, dividirt durch die Summe der Bestandtheile der Mischung, giebt den Durchschnittswerth.

 Marx fasst das Beispiel bei Feller/Odermann, S. 154, mit eigenen Worten zusammen und vereinfacht dazu die Zahlen.
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Z.B. Ein Land hat im 1[ t] Jahr 20, im 2t 30, im 3t 40, im 4t 10, im 5t 10 Mill. lb Thee exportirt importirt. So hat es in 5 J. importirt: 110 Mill. Thee. Also in 1 J. Durchschnitt 110/5 = 22 Mill. Man rechne ferner den Preis zusammen, den dals das lb Thee in jedem Jahr kostete, u. summire diesen Preis; die Summe sei z.B. 30 Mill. So: 30/5 = 6. Also Durchschnittswerth der jährlichen Theeeinfuhr von 22 Mill. lb war 6 Mill. lb. 6 Mill.

Beispiel, wo wirkliche Mischung. Wenn man 8 Mark B. reines Silber mit 5 Mark B. Kupfer legirt, wie fein ist dann das Silber?

8 M. Bk enthalten 8 × 16 = 128 Lth. Silber.
5 M. Bk Kupfer = 5 × 0 = 0 Lth.
13 Mk enthalten 128 Lth. Silber.
1 Mk enthält  Bruch von Marx zur Verdeutlichung des Rechenwegs ergänzt.
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128/13
= 911/13 Lth.

Einfacher ist die Rechnung, wenn die Mengen der zu mischenden Bestandtheile gleich sind. Dann kommen nur die Qualitäten od. Werthe in Betracht; deren Summe, dividirt durch die Anzahl der gemischten Qualitäten, den Durchschnittswerth giebt.

Z.B. man mischt 1Lb à 9 Gr., 1lb à 12 Gr, 1lb à 15 Sgr., 1lb à 20 Gr.

Hier Durchschnittswerth = 9+12+15+20 4 (Anzahl d. Sorten) = 14 Sgr. Also Durchschnittswerth des lb = 14 Sgr.

Falsch bei Aufsuchung eines Durchschnittswerths an die Stelle der Werthe die für die Wertheinheit gegebnen Quantitäten zu setzen.

Z.B. Wenn Jemand von einer Waare 12 Stück für 1 Gulden, u. von einer andren Qualität 18 Stück für einen Gulden, verkauft er von jeder Sorte |124 360 Stück, so erhält er 20 + 30 = 50fl.

Wollte er aber 12+18/2 = 2 Stück für 1 Gulden geben, so würde er für die 720 Stück nur 48fl. lösen.

Die richtige Rechnung: 12 Stück für 1f., 1 Stück für 1/12f., u. 18 St. für 1f., od. 1 Stück für 1/18f. Also per Stück im Durchschnitt (1/12)+(1/18) 2 = 5 12 f. Dieß × mit 720 = 50f.



ad 2.) Zweiter Fall: Sind zur Auffindung einer gewissen Qualität nur Zwei Qualitäten zur Mischung gegeben, so muß nothwendig die eine besser, die andre schlechter sein, als die gesuchte Qualität. Wenn nun die gesuchte Mittelsorte von der bessern u. von der geringern gegebnen Sorte gleich weit entfernt ist, so hat man von den beiden gegebnen Sorten gleich viel zu nehmen.

Z.B. Aus zwei Sorten à 14 u. à 22 Gr. ist eine Mittelsorte à 18 herzustellen.

Die geringre Sorte – 14 – ist um 4 geringer, die bessre Sorte – 22, um 4 besser, als die gesuchte Mittelsorte.

Plus u. minus heben sich auf beiden Seiten auf, u. die Mischung ist zu gleichen Theilen vorzunehmen.

Z.B.

2lb. à 14 gr. = 28 gr.
2 à 22 = 44
4lb à 72 gr.
1lb kostet also 18 gr.  Zusatz von Marx.
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⦗Einfacher: (18 – 4) (= 14) + (18 + 4) (= 22) = 18 – 4 + 18 + 4 = 36. 2lb = 2 × 18 = 36. 1lb. = 36/2 = 18.

Ist das Plus dem Minus nicht gleich, so: Je mehr od. weniger die Qualität od. der Werth der bessern Sorte die Qualität oder den Werth der Mittelsorte übersteigt, desto mehr oder desto weniger ist von der geringern Sorte in die Mischung aufzunehmen. Demnach giebt die Differenz zwischen der bessern u. der Mittelsorte, an, wie viel Theile von der geringern Sorte zu nehmen sind.

Z.B. Aus 2 Sorten à 14 u. à  Feller/Odermann, S. 155: 22
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30
Groschen sei eine Mittelsorte von 18 Gr. pr lb herzustellen.

Umgekehrt: Je weniger od. je mehr die Qualität od. der Werth der geringern Sorte hinter dem Werth od. der Qualität der Mittelsorte zurücksteht, desto weniger od. desto mehr ist von der bessern Sorte in die Mischung aufzunehmen.

Demnach giebt die Differenz zwischen der bessern u. der Mittelsorte an, wie viel Theile von der geringern Sorte zu nehmen sind, während die Differenz zwischen der geringern u. der Mittelsorte die Anzahl der Theile ausdrückt, welche man von der bessern Sorte zu nehmen hat.

Die Summe dieser Differenzen bezeichnet daher die Anzahl der Theile, aus denen das Ganze zusammengesezt ist.

1 Beispiel. Man will durch Mischung von Wein à 24 Gr. u. à 11 Gr. eine Sorte zu 15 Gr. finden. Wie viel muß man von beiden nehmen:

24 Gr. 4 (Differenz zwischen 11 u. 15
15
11 9 (Differenz zwischen 24 u. 15)
13

Das Ganze besteht demnach aus 13 Theilen. Es müssen also 4/13 von der Sorte à 24 Sgr. u. 9/13 von der Sorte à 11 Sgr. genommen werden.

Gesezt man braucht 390 Flaschen à 15 Sgr., so müssen genommen werden:

4/13 × 390 = 120 Flaschen. à 24 Sgr. = 2880 Sgr.
9/13 × 390 = 270 Flaschen à 11 Sgr. = 2970
390 = 5850 Sgr. Dann kostet eine Flasche 15 Sgr.

2. Beispiel. In welchem Verhältniß müssen 2 Goldsorten à 18 Karath 5 Grän u. à 9 Karath 4 Grän gemischt werden, wenn 131/2 karäthiges Gold entstehn soll?

185/12 221 50 (Differenz von 112 u. 162)
131/2 od. 162
 Feller/Odermann, S. 156: 1/3
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91/13
112 59 (Differenz zwischen 221 u. 162)
109

Braucht man nun z.B. 109 Loth Gold à 131/2 Karath, so muß man zu 50 Loth à 18 Kar. 5 Gr. noch 59 Loth à 9 Kar. 4 Gr. mischen, denn:

50 Loth à 18.5 enthalten 920 Kar. 10 Gr.
59 à 9.4 550 8
109 Loth enthalten 1471. 6. Also 1 Loth 13 Kar. 6. Gr.

Wenn mehr als 2 Sorten gegeben sind, aus welchen die verlangte Sorte gemischt werden soll, so mischt man je zwei Sorten mit einander.

Gesetzt, man solle aus 4 Sorten Wein à 16, 14, 11 u. 5 Sgr. eine Sorte zu 12 herstellen, so verfahre man, wie folgt:

16b 7 (Differenz von 5 u. 12) Die beigesetzten Buchstaben a, b, bezeichnen wie die Mischung erfolgt ist. Zuerst ist 14 mit 11 gemischt worden: 1 Theil à 14 Gr. = 14 Sgr. 2 ­. à 11 = 22 Sgr. | also 3 Theile = 36 Sgr. u. 1 Th. = 12 Sgr. Sodann ist 16 mit 5 verbunden: 7 Th. à 16 Sgr. = 112 Sgr. 4 à 5 = 22 | also 11 Theile = 132 Sgr. 1 Theil = 12 Sgr.
14a 1 (Differenz von 11 u. 12)
12
11a 2 (Differenz von 14 u. 12)
5b 4 (Differenz von 16 u. 12)

Giebt jede einzelne Mischung die gewünschte Sorte à 12 Sgr., so müssen beide vereinigt dieselbe Sorte geben. Summe der Theile hier 11 + 3 = 14.

Eine andre Mischung ist:

16b 1 (Differenz zwischen 11 u. 12) Hier ist zuerst 14 mit 5 gemischt: 7 Theile à 14 gr. = 98 sgr. 2 Theile à 5 = 10 | also 9 Th. = 108 sgr. 1 Th. = 12. Ferner: 16 mit 11.: 1 Th. à 16 S. = 16 Sg. 4 Th. à 11= 44 | also 5 Theile = 60 Sgr. 1 Theil = 12 Sgr. In beiden Fällen muß die Mischung aus 15 Theilen bestehn u. es sind von der zu mischenden Quantität. Im ersten Fall: 7/14 à 16 Gr; 1/14 à 14 Sgr; 2/14 à 11 Sgr; 4/14 à 5 Sgr. Im zweiten Fall: 1/14 à 16 Gr; 7/14 à 14 Sgr; 4/14 à 11 Sgr; 2/14 à 5 Sgr.
14a 7 (Differenz zwischen 5 u. 12)
12
11b 4 (Differenz zw. 16 u. 12)
5a 2 (Differenz zwischen 14 u. 12)

Ist die verlangte Sorte nicht eine solche, die ebenso viel beßre über sich, als geringre unter sich hat, so müssen die Sorten, die auf der einen Seite überzählig sind, mit den Sorten, die sich auf der entgegengesetzten Seite befinden, nochmals verbunden werden.

Man soll z.B. aus 5 Qualitäten à 24, 20, 14, 9 u. 5xr eine neue à 16xr mischen:

24a+c 7 + 11 (Differenz zwischen 9 u. 16 u. zwischen 5 u. 16) = 18 Theile à 24xr = 432xr.
20b 2 (Differenz zwischen 14 u. 16) = 2 à 20 = 40
16
14b 4 (Differenz zwischen 20 u. 16) = 4 14 = 56
9a 8 (Differenzen 24 u. 16) = 8 9 = 72
5c 8 (Differenz zwischen 24 u. 16) = 8 5 = 40
40 Th = 640xr. 1 Th. = 16xr

Da für 3 geringere Sorten nur 2 bessere zur Mischung gegeben waren, so musste mit der 3ten geringern Sorte noch eine der beiden bessern Sorten, obgleich beide bereits in die Mischung aufgenommen waren, verbunden werden. Dazu Sorte à 24xr gewählt; hätte auch die à 20xr gewählt werden können.|

125

Sobald für eine od. mehrere der gegebnen Sorten eine gewisse Quantität gegeben ist, die durchaus in die Mischung od. Mengung aufgenommen werden soll, so müssen sich natürlich die andern  Feller/Odermann, S. 158: Qualitäten.
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Quantitäten
in Bezug auf die von ihnen zu nehmende Menge danach richten.

Beispiel: Man besitzt 5 Mb. 18 karäthiges Gold; wie viel 12 karäthiges muß zugemischt werden, wenn 14 karäthiges daraus entstehn soll?

18 2
14 6 Theile. 2/61/3
12 4 4/6 = 2/3.
Da nun 5 M.B. à 18 Karath (= 1/3) in die Mischung aufgenommen werden sollen, so das Doppelte (2/3) also 10 M.B. aus 12 Karath zuzusetzen.

Man verlangt ferner eine gewisse Menge von einer gewissen Qualität, u. will dazu eine od. mehrere bestimmte Quantitäten u. Qualitäten verwenden. Wie muß nun die Qualität der Beimischung beschaffen sein?

Z.B.: Man braucht 10 M.B. 12 löthigen Silbers. Wieviel löthig muß das Silber sein, das zu 4 Mark Bk. 15 löthigem beigemischt, die verlangte Qualität giebt?

Man braucht 10 Mark Banco 12 löthiges Silber enthaltend = 120 Loth. Vorhanden sind 4 M. Banco 15 löthiges = 60 Loth.

Es fehlen also 6 Marc B., welche enthalten müssen 60 Loth. 1 Marc Banco also = 10 Loth.

Zu den vorhandnen 4 M.B. 15 löthigen Silbers müssen also 6 Mk. B. 10 löthiges gemischt werden.

4 Mark Banco 15 löthiges enthalten 60 Loth.
6 10 60
10 120 u. 1 Mark also 12 Loth.


3) Wechselrechnung.

  • Wechselrechnung überhaupt (109)
  • Parirechnung (109–110)
  • Wechselreductionen: Direkt (110–112) Indirekt (112–114)
  • Arbitragerechnung: Direkt (114–118) Indirekt (135–138)
  • Regel de Tri. Regel Multiplex (118, 119)
  • Kettenregel (118–121)
  • Gesellschaftsrechnung (121–123)
  • Alligationsrechnung (123–125)
  • Procentrechnung (125–127)
  • Zinsrechnung (127–131)
  • Discontrechnung (131–132)
  • Terminrechnung (132–134)

Inhalt:

  • Inhaltsverzeichnis von Friedrich Engels
  • 1869 I Heft
  • Money Market. 1868.
  • Money Market Review. Jahrgang 1868.
  • The Economist. Jahrgang 1868. Nachträge
    • The Economist. Jahrgang 1868.
    • Inhaltsregister für 1868 Jahrgang. („Money Market Review“ und „Economist“.)
    • Kommentar zu George Joachim Goschen
      • George J. Goschen: The Theory of the Foreign Exchange. 7th edit. London 1866.
      • Friedrich Ernst Feller, Carl Gustav Odermann: Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik
      • Inhalt.