Marx’ Wort.
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Intermezzo
. (Kettenregel, und Prozentrechnung)

 Feller/Odermann, S. 136.
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Kettenregel.

 Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Zunächst entspringt diese Scheisse einfach aus Reihe von einzelnen Regel de Tri-sätzen, u. wird gewonnen, indem man aus dieser Methode das Nutzlose wegläßt.

Z.B. Was kosten 2500lb Waare in Friedrichsd’or à 52/3 Th., wenn 1 Loth 3 Pfennig in Berlin kostet?

1) Verwandlung der 2500lb in Loth: 1lb : 2500lb = 32 Lth : x. x = 80,000 Lth.
2) Werth in Pfennigen: 1 Lth : 80,000 = 3 Pf. : x. x = 240,000 Pf.
3) Verwandlung der Pfennige in Thaler: 360 Pf. : 240,000 = 1 Th : x. x = 6662/3 Th.
4) Verwandlung der Thaler in Friedrichsdor: 52/3 Th. : 6662/3 = 1 Fr. : x. x = 11711/17 Fd’or.

  Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Verwandelt od. rather verkürzt man diese Scheisse nun in Kettenregel, so gestaltet sich die Aufstellung, aufgrund mit dem x (der Benennung des x), welches die Hauptfrage bildet, wie folgt:

x Fd’or = 2500lb.
1 = 32 Lth.
1 = 3 Pf.
360 = 1 Th.
52/3 = 1 Friedd’or.

Also der Kettensatz fängt immer mit der Benennung an, für welche man die zur Gleichung fehlende Zahl suchen will, od. in andern Worten, mit derjenigen, auf welche die Hauptfrage in der Gleichung gerichtet ist.

Diejenige Benennung, mit welcher man rechts geschlossen, muß in der nächsten Gleichung links wieder anfangen.

Der Kettensatz schließt mit der Benennung, welche überhaupt gesucht wird, so daß die Münz-Maaß-Gewichtssorte etc, welche durch die Ausrechnung zu finden, auf der linken Seite der ersten u. auf der rechten Seite der lezten Gleichung zur Erscheinung kommt.

Die Ausrechnung geschieht in derselben Weise wie für die Regel Multiplex.  Kommentar von Marx.
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Die Regel Multiplex ist eine zusammengesezte Regel de Tri, u. folgendes sind die kaufmännischen Recepte über diese ganze Scheisse.

1)  Feller/Odermann, S. 98.
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Einfache Regel de Tri
.

Steigende od. Fallende Proportion: 8 : 56 = 3 : 21 Steigende Proportion. 56 : 8 = 21 : 3 fallende Proportion.

Die Regel de Tri, i.e. die Proportion, wodurch x gefunden wird kann Direkt od. Indirekt sein.

Direkt: z.B. Kleinere Zahl a : zur grössren Zahl b = kleinere Zahl c : zur grössren Zahl x.

Oder: Grössre Zahl b : kleinere Zahl a = x : kleinere Zahl c.

Indirekt. Kleinere Zahl a : grössre Zahl b = grössre Zahl c : x (kleinere Zahl)

Oder: Grössre Zahl c : kleinere Zahl b = kleinere Zahl d : x (grössre Zahl.)

Je nachdem mehr od. weniger herauskommen soll, muß das erste Verhältniß steigend oder fallend angesezt werden.

Man findet das 4 Glied x durch Multiplication des 3. Glieds mit dem Exponenten des ersten Verhältnisses.

Z.B. 8 : 56 (= 7 × 8) = 3 : x. x = 3 × Exponent des ersten Verhältnisses, = 3 × 7 = 21
oder: 56 : 8 (56 × 1/7) = 21 : x. x = 21 × Exponent des ersten Verhältnisses, = 21 × 1/7 = 3.

Die Multiplication von Glied 4 × Exponent des ersten Verhältnisses = Division des ersten Glieds in das aus Multiplication des 2 und 3 Glieds entstandne Produkt.

Z.B. 8 : 56 = 3 : x. x = 3 × 56/8 = 3 × 7. Dasselbe wie x = 3×56 8 .

In den Aufgaben der Regel de Tri ist Eins der Glieder oft = 1. In diesem Fall die Ausrechnung Division oder Multiplication. Sonst, wenn kein Glied = 1, aus Beiden bestehend.

Daher: Multiplikationsaufgaben; Divisionsaufgaben; oder, drittens Gemischte Aufgaben. Alle diese 3 Fälle haben es mit direkten oder indirekten Verhältnissen zu thun.

a)  Feller/Odermann, S. 100.
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Einfache Regel de Tri mit direkten Verhältnissen
.

1) Multiplikationsaufgaben: Da für Produkt die Benennung der Faktoren gleichgültig, kann man diese, wenn vortheilhaft, mit einander vertauschen.

Z.B. Was kosten 120lb. à 57 Kg.? Ebensoviel als 57Lb zu 120 Kg. oder 2fl.

Ebenso kann man Nullen versetzen. Was kosten 1500lb zu 19 ngr.? Soviel als 1900lb zu 15 ngr. oder à 1/2 Rth.

Wie viel kosten 329lb à 16 Sgr. 3 Pf.?
329lb à 15 Sgr = 164 Th. 15 Sgr.
à 1 Sgr. 3 Pf. = 13, 211/4
178 Th. 61/4 Sgr. |
119

2) Divisionsaufgaben: Hier wird von einem Wert > < 1 auf den Werth der Einheit geschlossen.

Z.B. Was kostet 1 Ctr, wenn 17 Ctr. 70 Thl. kosten. 1 Ctr = 70/17.

Oder: Für 17 Thl. erhält man 119 Stück. Wieviel für 1 Th? = 119/17.

Oder: Was bezahlt man für 10 Stück, wenn für 17 Stück 1 Th.? 1/17 Th. × 10.

3) Gemischte Aufgaben: Man multiplicirt das 3te Glied mit Exponent des ersten Verhältnisses, od. multiplicirt 3 Gl. × 2t Glied u. dividirt durch 1 Glied.

b)  Feller/Odermann, S. 129.
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Einfache Regel de Tri mit indirekten Verhältnissen
.

12 Arbeiter brauchen 90 Tage; wie viel 100 Arbeiter (weniger)? 100 A. : 12 = 90 T. : x. x = 104/5 T.

1 Dampfmaschine von 24 Pferdekraft braucht zu gewisser Arbeit 4 Tage, wie viel eine von 16 Pferdekraft? (mehr) 16 : 24 = 4 : x. x = 6 Tage.

Mit 8 Pflügen erfordert 1 Stück Feld 17 Tage, wie viel mit 12 Pf. (weniger)? 12 : 8 = 17 : x. x = 111/3 Tage.

Wieviel braucht Jemand, der täglich 6 Meilen macht, wenn ein andrer, bei täglich 7 Meilen, 12 Tage braucht? (Mehr) 6 : 7 = 12 : x. x = 14 T.

2)  Feller/Odermann, S. 131.
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Zusammengesezte Regel de Tri
.

Hat es mit mehr als 4 Gliedern zu thun. Sind Verhältnisse gegeben, so Regel multiplex; sind Gleichungen gegeben, so Kettenregel.

Regel Multiplex.

Man will z.B. wissen, wie viel Lohn 10 Arbeiter erhalten, die 8 Tage arbeiten, wenn 15 Arbeiter, die nur 6 Tage arbeiten, 7 Thaler bekommen?

Solche Aufgaben lassen sich zunächst durch ebenso viele Regel de Trisätze lösen als Verhältnisse gegeben sind.

Z.B. im obigen Fall. Zuerst Lohn berechnet nach Zahl der Arbeiter. 15 : 10 = 7 : x. x = 42/3 Th.

Nun aber arbeiten die 10 Arbeiter 8 Tage statt 6. Also: 6 : 8 = 42/3 Th. : x. x = 62/9 Th. Lohn von 7 Th. ist zuerst nach dem Verhältnisse 15 : 10, u. das das das so gefundne Resultat, 42/3 Th., nach dem Verhältniß 6 : 8 verändert worden.

Also haben beide Verhältnisse auf die 7 Th. gewirkt. Diese Einwirkung läßt sich nun aber noch auf folgende Weise darstellen:

1) 15 : 10 = 7 : x oder: x : 7
2) 6 : 8 15 : 10
6 : 8

Aus der ersten Gleichung ergebe sich: x =  7×10 15 u. aus der zweiten x =  8×7 6 . Also x = 7×10×8 15×6 . = D. Product aller zweiten u. dritten Glieder Product der ersten Glieder

Das nähere Verfahren ist nun dieß: a) Man mache die gemischten Zahlen zu ganzen Zahlen u. setze die Nenner auf die entgegengesezte Seite. Decimalbrüche werden durch Weglassung des Komma in Ganze verwandelt. Die Nenner (10, 100 etc) sind, wie die Nenner der Gemeinen Brüche, auf die entgegengesezte Seite zu bringen.

b) Soweit als möglich, die Glieder beider Seiten zu kleinern, od. gegen einander aufzuheben; c) Produkt aller Glieder rechts dividirt durch Produkt der Glieder links.

Wenn 15 Mann in 30 Tagen 100 Stück fertigen, wie viel Stücke von 18 Mann in 45 Tagen?

15 M. : 18 M. = 100 St. : x
30 T. : 45 T.
x = 18×100×45 15×30  = 10 × 18 = 180.

Eine Dampfmaschine von 30 Pferdekraft bewegt in 3 Wochen à 6 Tagen à 12 Stunden eine Erdmasse von 4° Länge, 21/2° Breite u. 21/2° Höhe.

In wie viel Wochen ununterbrochner Arbeit wird eine Erdmasse von 10° Länge, 31/2° Breite u. 2° Höhe durch eine Dampfmaschine von 25 Pferdekraft bewegt?

25 Pferdekraft. : 30 Pf. = 3 Wochen : x 25 Pf. : 30 Pf. = 3 W. : x
168 St. : 72 St.
25 Kubik°ruthen : 70 Kubik.°
x = 3×30×72×70 25×168×25  = 48/25 Wochen.
7 T. : 6
24 St : 12
4° L. : 10° L. = 25 Kubikruthen : 70
21/2° B. : 31/2° B.
21/2° H. : 2° H.

  Marx bezieht sich auf Manuskriptseite 118 des vorliegenden Hefts, wo er sein Exzerpt mit einem Einschub über die „Regel de Tri“ unterbrochen hatte. An diese Stelle knüpft er mit dem folgenden Beispiel aus Feller/Odermann, S. 137 wieder an.
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Kehren wir nun zurück zur Kettenregel. (Sieh vorige Seite)

Was kostet 1 Wiener lb in Neukreuzern, wenn 100 Neue Hamburger Pfund mit 361/4 Mk. Banco bezahlt wurden? 25 Wien. Pf. = 28 Hab. Pfd, u. 21fl. östr. = 273/4 Mc. Banco.

x Neukreuzer = 1 Wiener lb. x Nkz.  Diese Spalte von Marx ergänzt.
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= 1 W. lb.
25 = 28 Hamburger lb. 25 = 28 Hb. lb.
100 = 361/4 M B. 100 = 145/4 M.B.
273/4 = 21fl. östr. 111/4 = 21f. östr.
1 = 100 Nkr. 1 = 100

Der Dividend von1×28×145/4×21×100 (28×21×100)×145/4
        Divisor:            25×100×111/4× 1       (25×100)×111/4

od. ( 28×21×100 25 × 100 ) ×  145/4 111/4 145/111. Also |120 Nenner 4 unberücksichtigt zu bleiben.  Die Rechnung des Beispiels ist von Marx mit Zwischenschritten ergänzt worden.
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Man hat also: x =
  28×145×21×100 25×100×111 28×145×21 25×111 28×29×21 5×111 28×29×7 5×37 = 5684 185 = 30,71 Nkz.

Was kostet ein Bogen Druckpapier in fzs. Centimen, wenn der Ballen in Berlin 30 Th. kostet? (1 fc = 28 Kg. südl. Währung; 7fl. südl. Währung = 4 Th.) 1 Ballen = 10 Ries, 1 Ries = 20 Buch, 1 Buch = 25 Bogen.) (1fl. = 60 Kg. S.W.[)]

x ctimes = 1 Bogen?  Diese Rechnung der Zwischenschritte ebenfalls von Marx. Bei Feller/Odermann nur letzter Schritt und Ergebnis.
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x =
  30×7×60×100 25×20×10×4×28 30×7×60×4 20×10×4×28 30×7×60 20×10×28 30×7×3 10×28 3×7×3 28 3×3 4 9 4 = 21/4 Ctimes.
25 = 1 Buch
20 = 1 Ries
10 = 1 Ballen.
1 Ballen = 30 Th. (in Berlin)
4 = 7fl. S.W.
1 = 60 Kg. S.W.
28 = 1 fc.
1 = 100 centimes.

Wie viel Neugroschen kosten 1 [(](neue) sächsische) Elle, wenn 1 Stück von 243/8 yards kostet 1£ 5s., 21 neue sächs. Ellen = 13 yards, 1£ = 63/4 Th.?

x Ngr = 1 Elle.
21 = 13 yds.
243/8 = 1£. 5s. (11/4£.)
1 = 63/4 Th.
1 = 30 Ng.

Wenn wir die Brüche in unächte verwandeln so haben wir:

x Ng. = 1 Elle.  In den Brüchen eigenständige Ergänzungen von Marx. Siehe Feller/Odermann, S. 138
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Dieß gäbe: x =
  (13×30)×(5/4)×(27/4) 21×(195/8) = ( 13×30 21 ) × (5×27)/4 195/8
= 13×30 21 × 5×27 4 × 8 195
= 13×30×5×27×8 21×195×4
21 = 13 yds.
195/8 = 5/4£.
1 27/4
1 = 30 Ng.

 Anmerkung von Marx.
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Wenn also verschiedne Nenner links u. rechts, so läßt man do. Nenner unberücksichtigt, × Divisor mit Nenner d. Dividend u. Dividend mit Nenner. Divisor.

Was kostet 1 Stück in England, wenn 32 Gross in Leipzig 13014/25 Th. kosten? (1£ = 25 Fcs. 50 ct. 5 Fcs. = 21/3fl.) 1 Gross = 144 St.

 Die folgenden Rechnungen stammen von Marx. Bei Feller/Odermann, S. 138, ist nur das Resultat angegeben und darauf hingewiesen, dass die Gleichungen schon in den anderen Aufgaben vorgekommen seien.
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x £ = 1 Stück (in England)
x £ = 1 St. x =  3264×4 144×32×27×25 3264 8×27×25×144 = 408 27×25×144 = 102 27×25×36 = 51 18×25×27
144 = 1 Gross 144 = 1 Gross
32 = 13014/25 Th. (Leipzig) 32 = 3264 Th.
63/4 = 1£ 27 = 1£

Sobald Procente, z.B. Spesen, in der Aufgabe vorkommen, hat man zu fragen ob mit diesen Procenten eine Vermehrung od. eine Verminderung des Resultats beabsichtigt wird. Im erstren Fall müssen die Procente steigend (z.B. 100 = 110), im leztren fallend (z.B. 100 = 90) berechnet werden.

Ist die Fragezahl ein bereits um die Procente vermehrter Werth, u. sucht man ein von diesem Procentwerth befreites Resultat, so 110 = 100.

Ist die Fragezahl ein bereits um die Prozente verkürzter Werth, u. sucht man den vor der Kürzung vorhandnen Werth, so 90 = 100.

Sind verschiedne Procente zur Einrechnung gegeben, so nur dann in Einen Posten zusammenzufassen, wenn sie sich sämmtlich auf Einen u. denselben Werth beziehn. Ebenso wenig dürfen einzelne Procentsätze, die theils vermehrend, theils vermindernd auf das Resultat einwirkend, durch Addition od. Subtraction verbunden werden (wie 5% dazu, 3% ab = 2%), ausser wenn sie sich sämmtlich auf Einen und denselben Werth beziehn.

Reihenfolge der Procente im Kettensatz ist gleichgültig. Doch Irrthum mehr vermieden im Aufstellen der Procentsätze, wenn man sie in der Reihenfolge einbringt, welche sich aus der Art der Procente ergiebt.  Bemerkung von Marx.
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(Verte)
|

121

1) Wie hoch kommen in Köln, ohne Transportspesen, brutto 7500 K° franz. Terpentinöl von Rotterdam zu stehn, wenn an diesem Platz 11/2% Ausschlag, 1% Gutgewicht, u. 22% Tara vergütet werden, wenn der Preis 23f. pr 50 Ko. netto, mit 1% Discont ist, die Platzspesen sich auf 11/4% belaufen, u. eine Kommission von 11/2% berechnet wird; wenn ferner 250fl. holl. = 1421/2 Th.

x Th. = 7500 K° brutto. x Th. = 7500 K° b. x =  7500×197×99×78×23×99×405×203×285 100×100×100×50×100×100×100×250×2×4×2×2
= 1521 Th. 24 Sgr.
100 = 981/2 K° nach Abzug des Ausschlags. 100 = 197 K°
100 = 99 K° nach Abzug des Gutgewicht. 100 = 99 K°
100 = 78 K° nach Abzug der Tara. 100 = 78 K°
50 K. = 23fl. holl. 50 = 23f.
100 = 99fl. nach Abzug von 1% Discont. 100 = 99.
100 = 1011/4fl. mit Zurechnung der Platzspesen. 100 = 405f.
100 = 1011/2 mit Zurechnung der Kommission. 100 = 203f.
250 = 1421/2 Th. 250 = 285 Th.

Die Gewichtsabzüge von 11/2, 1 u. 22% durften nicht in 241/2% zusammenaddirt werden, da nach dem Platzgebrauch gemäß Gutgewicht von dem nach Abzug des Ausschlags verbleibenden Gewicht, u. von diesem die Tara abgerechnet wird. Die Procentsätze 11/4 u. 11/2% vermehrend u. 1% vermindert durften nicht in 100 = 1013/4 zusammengefasst werden, da sie sich nicht auf denselben Werth beziehn. Der Abzug von 1% erfolgt vom Betrag der Waare à 23fl. Auf den hiedurch erhaltnen Reste beziehn sich die Platzspesen; die Provision aber wird von dem um diese Spesen vermehrten Betrage genommen.

2) Welchen reinen Ertrag in türk. Piastern bringen netto 500 Rottoli persische Seide, in Marseille mit 16 fcs pr 1/2K° u. 1% Discont verkauft? Die Spesen betragen 5%. 100 Rottoli = 44 Okka à 400 Drachmen; 32 Teffé à 610 Drachmen = 61 Ko; 1 fcs = 180 Para. 40 Para = 1 Piaster.

x P. = 500 Rottoli
100 = 44 Okka. x =  500×44×400×61×16×99×95×180×2 100×610×32×100×100×40
11×99×19×18 10 ( 11×99×19×9 5 )
x = 37,243 Piaster, 32 Para.
1 = 400 Drachmen.
610 = 1 Teffe.
32 = 61 Ko.
1/2 = 16 Fcs. Verkaufspreiß.
100 = 99 fcs (Verminderung durch 1% Discont)
100 = 95 fcs. (Verminderung durch Verkaufsspesen)
1 = 180 Para
40 = 1 P. (Piaster)

3) 1260lb einer Waare kosteten mit 121/2% Spesen 2481/16 Th.; wieviel hat 1 Pf. in Hamburger Corant Sh. gekostet, wovon 40 = 1 Rth.?

x β = 1lb. x = 3969×100×40 1260×225×8 =7β.
1260 = 2481/16 Th. mit Spesen von 121/2%.
1121/2 = 100 Th. ohne Spesen.
1 = 40β.

4) In Berlin berechnete man 400lb (neues Gewicht) einer Waare, die in Hâvre mit 21/2% Discont gekauft worden war, ohne Rücksicht auf Spesen mit 109 Th. 6 sgr.; wie viel kostete ursprünglich das 1/2 Ko in Hâvre, den fc zu 8 sgr. gerechnet. (50 K° = 100lb.)

x fcs = 1/2 Ko. x =  100×109×30×100 50×400×8×195
109/104, about 1,05 fcs.
50 Ko = 100lb.
400 = 109 Th. 6 sgr. nach Abzug von 21/2%.
1 = 30 Sgr.
8S. = 1f.
971/2 = 100 fcs. vor Abzug von 21/2%.

 Feller/Odermann, S. 144.
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Gesellschaftsrechnung. (Vertheilungs- oder Repartitionsrechnung)

 Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Alles beruht auf dem Satz: Gesezt S sei die Summe der Verhältnißzahlen a, b, c; die zu vertheilende Grösse sei R. S.:

S : a = R : Antheil des A (von R.)
b Antheil des B
c Antheil des C

Oder: Die Summe der Verhältnißzahlen verhält sich zu jeder einzelnen Verhältnißzahl, wie die zu vertheilende Grösse zu jedem einzelnen Antheil.

Oder: Wenn auf die Summe der Verhältnißzahlen die ganze zu vertheilende Grösse kommt, wie viel kommt auf jede einzelne Verhältnißzahl?

Z.B. 320 Th. sind in 3 Theile zu theilen nach dem Verhältniß 4, 7, 9 od. wenn A. 4 Th. bekommt, bekommt B. 7 u. C. 9. Wie viel kommt auf Jedes Antheil?

Summe der Verhältnißzahlen = 4 + 7 + 9 = 20.
Ganzes der zu vertheilenden Grösse = 320 Th.
hence: 20 : 4 = 320 : x = 64
20 : 7 = 320 : x = 112
20 : 9 = 320 : x = 144
320 Th.

In diesem Fall 320/20 od. Zu vertheilende Grösse Summe d. Verhältnißzahl. = 16. Multiplicirt man diesen Quotient respective mit 4, 7, 9, so erhält man do. 64, 144, 320.

Auch läßt sich jede Verhältnißzahl als ein Bruch ansehn, dessen Zähler die Verhältnißzahl selbst ist u. dessen Nenner aus der Summe der Verhältnißzahlen besteht. Mit jedem dieser Brüche multiplicirt man dann die zu theilende Grösse; die daraus sich ergebenden Producte bilden die einzelnen Antheile.

Z.B. der Antheil des A im obigen Fall 4/20, des B 7/20, des C: 9/20 u. A = 320 × 4/20 = 64, B = 320 × 7/20 = 112 u.s.w.

Es seien 2000 Th. Gewinn nach 5 Kapitaleinlagen von 1200, 1500, 2100, 3000 u. 2700 zu theilen. Man kann d’abord jede dieser Verhältnißzahlen dividiren durch 300 u. man erhält 4, 5, 7, 10 u. 9, deren Summe = 35. Dann berechnet man: A kriegt 4/35 × 2000 = 228 Th 4/7 etc etc.|

122

Die Verhältnisse der Theilung können auch in Brüchen ausgedrückt sein.

Entweder wird durch die gegebnen Brüche geradezu ausgedrückt, der wievielste Theil od. welcher Bruch des Ganzen auf jeden einzelnen Antheil kommen soll;

Oder diese Brüche drücken also wie ganze Zahlen, nur das Verhältniß aus, in welchem die einzelnen Antheile unter sich stehn

Z.B. Es sind 180 Th. so zu theilen, daß A 1/3, B 1/4 u. C den Rest der Summe erhalten soll?

A) 1/3 × 180 Th. = 60 Th.
B) 1/4 × 180 = 45
Beide zusammen: 105 Th.
Bleiben für C 75 Th.
Summe: 180 Th.

Oder aber: Es sind 1320 Th. unter 4 Personen so zu theilen, daß A 1/4, B 2/3, C 1/2 u. D 5/12 erhält;  Anmerkung von Marx.
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d.h. daß dieß nicht die Brüche des Ganzen, sondern die Verhältnißausdrücke sind, in welchen die einzelnen Theile unter sich stehn
, so daß also B ebenso oft 2/3 als A 1/4 erhält u.s.w.

Wie man vorhin die Verhältnißzahlen durch dieselbe Zahl dividirte, so kann man, wenn die Verhältnißzahlen Brüche, sie durch Multiplication der möglichst kleinen Zahl in Ganze verwandeln.

Z.B. 1/4, 2/3, 1/2, 5/12. Multiplicirt man sie alle × 12, so erhält man 3, 8, 6, 5. u. die Summe dieser Verhältnißzahlen = 22. (1/4 : 2/3 = 3 : 8 u.s.w. u.s.w.)

Die zu vertheilende Grösse =1320; die Summe der Verhältnißzahlen = 22. Also ein Theil = 1320/22 (auf 22 Th. kommen 1320) = 660/11 = 60; Also A = 60 × 3 = 180, B = 60 × 8 = 480, C = 60 × 6 = 360 u. D = 60 × 5 = 300  =1320.

Beispiel. In einem Dorf haben 4 Hausbesitzer durch eine Feuersbrunst an ihrem Eigenthum verloren, A. 640 Th., B. 520, C. 800, D. Alles. Wenn nun für diese 4 Personen 987 Th. 14 Gr. milde Beiträge eingegangen sind, wie sind sie zu vertheilen, da ihr Eigenthum taxirt ist wie folgt: A.) 2000 Th., B.) 1800 Th., C) 2400 Th. u. D) 1200 Th.?

Es ist zu  Feller/Odermann: ermitteln
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vermitteln
, welchen Theil seines Eigenthums jeder verloren hat.

Verlust des Eigenthums (Verhältniß): A.) 640/20008/25; B.) 520/180013/45; C.) 800/24001/3; D = 1200/1200 = 1.

 Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Die Verhältnißzahlen also, worin diese Burschen verloren haben, u. worin ihr Antheil an der „milden Gabe“ zu berechnen, sind
8/25, 13/45, 1/3 u. 1. Multiplicirt man, um ganze Zahlen zu erhalten, mit 225, so erhält man: 72, 65, 75, 225. = Summe von 437. Es erhält also A) 72/437 (987 Th. 14 Gr.), B: 65/437, C) 75/437 u. D) 225/437.

Oft sind die Verhältnisszahlen nicht gradezu, sondern durch Zwischenverhältnisse ausgedrückt; dann müssen sie erst durch besondre Rechnung gefunden werden. Hierbei ist zu unterscheiden, ob diese Zwischenverhältnisse sich alle auf Eine Grösse beziehn, oder ob dieß nicht der Fall ist.

Erster Fall: 2127f. sind unter 5 Personen so zu theilen, daß sich A : B = 4 : 5, A : C = 3 : 4, A : D = 5 : 6 u. A : E = 8 : 9 verhält.

Wenn A 4 erhält, erhält B 5; Wenn A daher 1, B 5/4; Wenn A 1, C 4/3, D 6/5 u. E 8/9. 1, 5/4, 4/3, 6/5 u. 8/9 sind also die Verhältnißzahlen. Um sie in ganze Zahlen zu verwandeln, multiplicirt man sie mit 120. Dieß giebt für A: 120, B 150, C 160, D 144, E, 135. Summe der Verhältnißzahlen = 709.

2127/709 = 3. Von den 709 Theilen, woraus 2127 besteht, daher jeder = 3.
Also: A = 3 × 120 = 360. C = 3 × 160 = 480.
B = 3 × 150 = 450. D = 3 × 144 = 432 u. E. = 3 × 135 = 405
Summe = 2127f.

Zweiter Fall: 19406 Th. sind in 6 Theile zu theilen, so daß sich Theil A zu B = 3 : 5, B : C = 4 : 5, A : D = 6 : 7, E : C = 3/4: 2, D : F. F = 31/4: 3 verhält.

A : B = 3 : 5. Folglich A = 1, B = 5/3. B = 5/3. C = 25/12. D = 7/6. E = 25/32. F = 14/13.
E : C = 3/4: 2; folglich E = 3/8C = 3/8×25/1225/8×4 = 25/32. Endlich D : F = 13/4: 3 = 13 : 12 = 1: 12/13.
Also, da D : F = 1 : 12/13, F = 12/13 D = 12/13×7/62×7/1314/13.

Diese 6 Verhältnißzahlen A–F × mit 1248 = 1248, 2080, 2600, 1456, 975 u. 1344. Summe = 9703.

19406 9703 = 2.  Anmerkung von Marx.
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Dieß ist also der Constante Theil, der mit den verschiednen Verhältnißzahlen jezt zu multipliciren ist.

A = 1248 × 2 = 2496, B. = 2080 × 2 = 4160, u.s.w. u.s.w.

In den bisher behandelten Fällen drückten die gegebnen od. aufzufindenden Verhältnißzahlen das Verhältniß der Theilung direkt aus; d.h. je grösser die Verhältnißzahl ist, die einen einzelnen Antheil bestimmt, desto grösser dieser Antheil, u. umgekehrt.

Die Theilung kann aber in indirektem Verhältniß standen statt finden, so daß je grösser die Verhältnißzahl, desto kleiner der Antheil, u. umgekehrt.

Beispiel: Jemand bestimmt 1000 Th. zur Vertheilung an 3 Personen, nach Verhältniß ihres Alters, so daß je jünger der Empfänger, desto grösser der Antheil sein soll.

Nun ist A 35, B 20 u. C 25 Jahre alt.

B. als der jüngste hat den größten Antheil. Setzen wir ihn gleich 1, so hat zu erhalten:

A. 35 : 20 = 1 : x 20/354/7
B. C. 25 : 20 = 1 : x 20/254/5

Multipliciren wir 4/7, 1, 4/5 mit 35, so = 20, 35 u. 28. Summe = 83.

Also. A = 20/83 × 1000 = 24080/83
B = 35/83 × 1000 = 42157/83.
C = 28/83 × 1000 = 33729/83
Th. 1000|

123

Endlich kann das Verhältniß der übrigen Theile zu einem derjenigen Theile, dessen Grösse die Aufgabe nicht bestimmt, gegeben sein;

oder: dem einen od. dem andren Theil kommt neben dem, was ihm nach seiner Verhältnißzahl zukommt, noch ein Plus od. Minus zu;

oder endlich: die Vertheilung soll so erfolgen, daß der Folge Folgende immer ein Gewisses mehr erhält als der Vorhergehende.

Erster Fall: 440 Fs. sollen unter 4 Personen so vertheilt werden, daß A 11/3× so viel als B, B 2 × so viel als D u. C 1/5 des Antheils von D erhält.

D = 1. B = 2D = 2. C = 1/5D = 1/5. A = 11/3B = 4/3B = 4/3 × 2 = 8/3.

Also A = 8/3 ×15, um Ganze Zahl zu bekommen = 40 Summe = 88. Die Gesammtzahl. 440/88 = 5. Oder 1/88 Theil der Gesammtzahl = 5. Hence  Diese Spalte von Marx selbst berechnet. Siehe Feller/Odermann, S. 148.
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A = 5 × 40 = 200
B = 2 30 B = 5 × 30 = 150
C = 1/5 3 C = 5 × 3 = 15
D = 1 15 D = 5 × 15 = 75

Hätte man für D = 1  Das Beispiel ist bei Feller/Odermann, S. 148, die Zahl 6, woran sich Marx auch in der nachfolgenden Rechnung hält, die zum großen Teil von ihm selbst stammt.
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eine andre Zahl
gesezt, so hätte man erhalten:

A = 8×6/3. = 16. A = 16 × 5 = A = 80 Summe = 176. 440/176 =21/2 A = 5×80/2 = 5 × 40 = 200
B = 2×6 = 12. B = 12 B = 60 B = 5×60/2 = 5 × 30 = 150 u.
C = 1/5× 6 = 6/5. C = 6/5 C = 6 C = 5/2× 6 = 15.
D = 6. D = 6. D = 30 D = 5/2× 30 = 75.

Also dasselbe Resultat wie vorher.

Zweiter Fall. 2900 Thl. unter 4 Erbinteressenten zu gleichen Theilen zu vertheilen, doch so, daß B 300 Th. mehr, C 400 Th. mehr, D. 200 Th. weniger erhalten als ihre verhältnißmässigen Antheile betragen.

 Zusatz von Marx.
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⦗Algebraisch: A = x. B = x + 300. C = x + 400. D = x – 200. Hence 4x + 700 – 200 = 2900. Hence 4x = 2400 u. x = 600.⦘

Da B u. C zusammen 700 mehr, D aber 200 weniger als verhältnißmässigen Antheil bekommen, so kommen nur 2900 – 500 (700 – 200 = 500), also nur 2400 zur Vertheilung; wovon 1/4 = 600. Also erhält etc.

Oder: 4 Theile + 500 Th. = 2900 Th. Also 4 Th. = 2900 – 500 od. = 2400 Th. Also 1 Th. = 2400/4 = 600 Th. Also A = 1 × 600 = 600 Th. B = 600 + 300 = 900. C = 600 + 400 = 1000. D = 600 – 200 = 400 Th.

Dritter Fall: 1000 Th. sollen unter 5 Personen so vertheilt werden, daß jede immer 20 Th. mehr erhält als die vorhergehende.

5 Theile + 20 + 40 + 60 + 80 Th. od. 5 Th. + 200 Th = 1000. ∴ 5 Th = 2000 1000 Th – 200 = 800. 800 = 160 Th. 1 Th = 160 Th.

Es erhält also: A = 160. B = 180. C = 200. D = 220 u. E. = 240 Th. 5 Zusammen = 100 1000.

 Feller/Odermann, S. 149.
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Zusammengesetzte Gesellschaftsrechnung.

Aufgaben, worin auf die gegebnen Verhältnisse noch gewisse Nebenbestimmungen einwirken. Witz besteht darin, diese so zu entfernen, daß die Lösung mit den Mitteln der einfachen Gesellschaftsrechnung zu bewirken.

1. Fall. Eine Arbeit durch 94 Arbeiter in 3 Abtheilungen zu 24, 40 u. 30 Mann für die Accordsumme von 422 Th. übernommen. 1 Abtheilung arbeitet 14, 2te 12, 3te 15 Tage, wie viel erhält jede?

Unter sonst gleichen Umständen vorausgesezt, daß 5 Arbeiter z.B. in 8 Tagen so viel arbeiten als 5 × 8 od. 40 Arbeiter in 1 Tag od. 1 Arbeiter in 40 Tagen, so darf man in obigem Fall, die Anzahl der Arbeiter für resp. 14, 12, 15 Tage nur auf solche für 1 Tage od. die Anzahl der Tage für 24, 40, u. 30 M. nur auf eine solche für 1 Mann zurückführen. Beides geschieht durch Multiplication der Anzahl der Arbeiter mit der Zahl der Tage, u. die dadurch erhaltnen Producte sind die Verhältnißzahlen. Man erhält:

24 × 14 = 336. Also: A: 1266 : 336 = 422 : x. x = 112 Th.
40 × 12 = 480 B: 1266 : 480 = 422 : x. x = 160  Marx läßt damit C aus.
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u.s.w.
30 × 15 = 450
1266.

2 Fall: Es sollen, in möglichst kurzer Zeit, 2000 Scheffel Korn auf 4 Mühlen gemahlen werden, von denen A in 4 Stunden 15 Scheffel, B in 3 Stunden 16 Scheffel, C in 3 Stunden 10 Scheffel, D in 2 Stunden 9 Scheffel mahlt. Wie viel Scheffel sind jeder dieser Mühlen zuzutheilen, damit sie gleichzeitig fertig werden?

Diese Aufgabe läßt sich doppelt lösen.

1) Man fragt: Wie viel Scheffel mahlt jede Mühle in 1 Stunde? oder:

2) Wie viel Stunden braucht jede Mühle, um 1 Scheffel zu mahlen?

ad 1) A) mahlt in 4 St. 15 St Scheffel; in 1 Stunde 15/4 Scheffel. Ditto B in 1 St. 16/3 Scheffel, C) in 1 St. 10/3 Sch. u. D. 9/2 Sch. Also:

A. in 1 St. 15/4 Sch. durch Multiplication × 12 A in 1 St. = 45 Sch. Summe = 203.
B. 16/3 B = 64
C. 10/3 C = 40
D. 9/2 D = 54

Demnach auszutheilen:

  • an A = 2000 × 45/203 = 44371/203 Sch. = 4433/8 Sch.
  • an B = 2000 × 64/203 = 6301/2
  • an C = 2000 × 40/203 = 3941/8.
  • an D) = 2000 × 54/203 = 532 Sch.
  • Summe 2000 Schfl.

ad 2) Ebenso leicht A 4/15, B 3/16, C 3/10 u. D 2/9 Stunden zu ein Scheffel.

Multiplicirt man diese Brüche mit 720, so erhält man 192, 135, 216, 160.

Es bedeuten diese Zahlen, daß wenn A 192 St. nöthig hat, B 135, C 216 u. D 160 nöthig hat.

Theilt man nun A 1 Schfl zu, so B (135 : 192 = 1 : x) = 64/45, C) weniger (216 : 192 = 1 : x) = 8/9 u. D (160 : 192 = 1 : x) 6/5.

Diese Verhältnißzahlen 1, 64/45, 8/9 u. 6/5 mit 45 multiplicirt gegeben ergeben 45, 64, 40 u. 54. Wie oben.

2) Goschen: Theory of Exchanges.

  • Definition. (90)
  • International Indebtedness (90)
  • Various Classes of Foreign Bills, in which Intern. Indebtedness is ultimately embodied. (90–93)
  • Fluctuations in the Price of Foreign Bills. (93–99)
  • Interpretation of Foreign Exchanges (99–104)
  • Socalled Correctives of Foreign Exchanges (104–109.)

Inhalt:

  • Inhaltsverzeichnis von Friedrich Engels
  • 1869 I Heft
  • Money Market. 1868.
  • Money Market Review. Jahrgang 1868.
  • The Economist. Jahrgang 1868. Nachträge
    • The Economist. Jahrgang 1868.
    • Inhaltsregister für 1868 Jahrgang. („Money Market Review“ und „Economist“.)
    • Kommentar zu George Joachim Goschen
      • George J. Goschen: The Theory of the Foreign Exchange. 7th edit. London 1866.
      • Friedrich Ernst Feller, Carl Gustav Odermann: Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik
      • Inhalt.