Aus:
Fr[iedrich] E[rnst] Feller, C[arl] G[ustav] Odermann: Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik. Für Handels-, Real- und Gewerbschulen, so wie zum Selbstunterricht für Geschäftsmänner überhaupt. 7., verm. und in Folge der im Münz- und Gewichtswesen eingetretenen Veränderungen z.Th. umgearb. Aufl. Leipzig 1859
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[Friedrich Ernst Feller, Carl Gustav Odermann: Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik]

I)  Feller/Odermann, S. 318.
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Wechselrechnung etc.

Wechsel = Verschreibungen auf gewisse Geldsummen.

Grundlage der Wechselrechnung der Wechselcours. Wechselcours = Angabe der variablen Geldsumme, die für eine gewisse constante Summe in einer andren Valuta, oder wenigstens an einem andren Ort u. in einer andren Zeit gezahlt wird.

Wechselcourse von den Börsen regulirt. Bekanntgemacht durch Courszettel.

Werth der Wechsel hängt von der Zeit ihres Verfalls od. ihrer Zahlbarkeit ab. Je länger der Zahlungstermin, desto weniger werth. Dieß weniger hängt vom jedesmaligen Discont- od. Zinsfuß ab.

Es giebt zweierlei Course. Die einen haben ihre feste Valuta im Ausland, die andren im Inland. In Hamburg z.B. 1£ notirt = ca. 13 Banco-Mark 4β (Hamburger shilling). Die feste Valuta 1£ hier im Ausland. Also 13 M.B. 5β höherer Cours, 13 M.B. 3β niedrigerer Cours (von London gesehn) Hamburg notirt dagegen Paris zu 190 Fcs für 100 M.B. fest. Da hier die feste Valuta im Inland, wenn ein Steigen der Courszahl, 1901/4 eintritt, so ist dieß in Wahrheit ein Fallen, dagegen 1891/2 ein Steigen zu erkennen giebt.

Wenn 2 Plätze, welche mit einander direkt wechseln, d.h. gegenseitig Course auf einander notiren, einen u. denselben Münzfuß haben, versteht sich die Coursnotirung in der Regel für 100 (Thaler, Gulden, fcs u.s.w.) u. dann ist die veränderliche Valuta stets im Inland, d.h. in dem Geld des Platzes ausgedrückt, um dessen Coursnotirung es sich handelt. Z.B. wenn Leipzig in Berlin mit 997/8 notirt ist, so bedeutet dieß 997/8 Thaler in Berlin = 100 Thaler (fest) in Leipzig. Zuweilen drückt man einen solchen Cours auch in % Verlust oder % Gewinn aus, z.B. oben 1/8% Verlust. Namentlich notirt Paris seine Course auf die inländischen Plätze in dieser Weise.

Münzwerth der festen Valuta wichtigste Grundlage. Wechselpari heißt dieser Werth. Von ihm können sich die Wechselcourse auf die Dauer nicht entfernen, sonst würde Baarsendung an die Stelle der Zahlung durch Wechsel treten.

 Feller/Odermann, S. 320.
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Parirechnung.

Die Parirechnung beschäftigt sich mit der Feststellung des eigentlichen Werths der festen Valuta eines Courses. Wechsel- u. Münzpari verschieden, weil bei erstrem immer die Frage auf die einem Course zu Grunde liegende feste Valuta zu richten. So lang die Valuten dieselben bleiben, u. beide Münzen aus demselben Metall geprägt sind, ist das Wechselpari constant. Ist dieß nicht der Fall, oder besteht in einem Land depreciirtes Papiergeld, so Wechselpari variabel. Ist in einem Land Gold, in dem andren Silber das Hauptzahlungsmittel, so, wenn in dem leztren Land den inländischen Goldmünzen ein fester Werth in Silber beigelegt ist, so das Wechselpari nur annähernd constant, da der Verkehr sich an solche gesetzlichen Bestimmungen nicht kehrt.

Früher, vor 1 Nov. 1858, der Wechselcours von Leipzig auf Wien in Thalern für 150f. österreichische Währung. Die 150 florin die |110 feste Valuta in dieser Rechnung.

Berechnung des Wechselparis zwischen Leipzig u. Wien, da 30 Th. u. 45 florin = 1 Pfd. feines Silber.

45fl. : 150fl. = 30 Th. : x
x = 30×150 45  = 6×150 9 900 9 = 100 Th. Das Wechselpari also 150fl. = 100 Th.

Das Pari ist der Einwirkung des Discontfusses unterworfen.

Z.B. 100 Th. zahlbar in Berlin eigentlich = 100 Th. zahlbar in Köln. Für 2 Mt. Papier sind sie, à 4% Discont, nur 991/3, für 3 Mt. P. nur 99 werth. Wenn ferner 3 Mt. P. auf Hamburg in Paris 1857/8 steht, so bei 5% Discont, kurzes Papier 188,20 werth. Bei einem Course, dessen feste Valuta im Auslande ist, hat man den Discont zu addiren, wenn der Cours höher, zu subtrahiren wenn er niedriger werden soll. Ist aber die feste Valuta im Inland, so tritt der umgekehrte Fall ein. Wenn z.B. kurz Amsterdamer in Hamburg mit 35,95 notirt ist, so, bei 4% Discont, 2 Mt. P. 36,19 zu notiren. Je länger ein Papier zu laufen hat, desto weniger ist es werth, desto mehr Gulden bekommt man hier für 40 Banco M. fest, u. desto weniger M.B. bekommt man in Amsterdam für die Guilders.

Beispiele. Augsburger 2 Mt. Papier steht in Berlin 56.24 (56 Thl. 24 sgr. für 100 flr. S.W.), wieviel bezahlt man für 3 Mt. P. mit 4% Discont? Discont für 1 Mt. à 4% = 1/3%, beträgt auf 1704 Sg. = 52/3 Sgr. Da man für 100fl. in 3 Mt. Papier weniger Thaler zahlt, als für 100f. in 2 Mt. P., so ist der Discont abzuziehn, u. so hat man 56.181/3 als Cours für 3 Mt. P.

Kurz Pariser ist in Hamburg mit 1901/2 notirt; wie stellt sich bei 4% Discont, 2 Mt. Papier, von dem 15 Tage verflossen sind? 60 – 15 Tage = 45 Tage. Auf 45 Tage der Discont von 1901/2 à 4% = 0,95, od. 15/16. Je länger dieß Pariser Papier ist, desto mehr Franken kauft man in Hamburg für 100 M.B. Der Discont ist also zu addiren. Der gesuchte Kours daher 1917/16.

 Feller/Odermann, S. 325.
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Wechselreductionen.

Wechselreduction = Verwandlung einer Wechselsumme nach einem gegebnen Wechselkurs, sei es nun, daß diese Wechselsumme als einheimische Valuta in fremde, oder als fremde Valuta in einheimische zu reduciren ist. Auch gehört zu den Wechselreduktionen die Aufstellung des Kurses, zu welchem eine solche Umwandlung stattgefunden hat. Die Wechselkurse selbst, so wie die festen Valuten, für welche sie sich verstehn, sind entweder in wirklicher Münze oder in eingebildetem Gelde (Rechnungsgeld) Der betreffenden Plätze ausgedrückt. Solches Rechnungsgeld ist z.B. die Marc Banco in Hamburg  Zusatz von Marx
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(blosser Name für 4/111 einer Mark feinen Silbers)
, das Groot vlämisch u.s.w.

a)  Feller/Odermann, S. 326.
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Direkte Wechselreduktionen.

Direkte Wechselreduktion kann nur dann erfolgen, wenn der Platz, welcher seine Valuta in die eines andren Platzes, oder umgekehrt, reduciren will, mit diesem Platz direkt (a drittura) wechselt, mit ihm im direkten Wechselverkehr steht. Dieß ist aber dann der Fall, wenn er an seiner Börse einen Cours auf jenen Platz notirt. So Berlin u. Leipzig a drittura mit Amsterdam, Augsburg, Hamburg, London u.s.w., weil sie auf ihren Kurszetteln Kurse auf diese Plätze notiren; nicht so mit Madrid, Genua u.s.w. Der Kurs, nach welchem eine Reduktion erfolgen soll, versteht sich entweder für die Sicht, auf welche der Wechsel lautet od. lauten soll, oder versteht sich für eine andre, kürzere oder längere Sicht. Im leztren Fall kann man entweder, unter Zugrundelegung eines gewissen Zinsfusses den für eine gewisse Sicht sich verstehenden Kurs auf einen Kurs derjenigen Sicht bringen, welche zur Berechnung gegeben ist, oder man kann die Reduktion nach dem gegebnen Kurs vornehmen, und das |111 gefundne Resultat um die Zinsen für den zwischen den beiden Sichten bestehenden Zeitunterschied entweder vermehren od. vermindern.

Berliner Kurszettel. (Mitte Februar 1859)
Plätze womit Berlin direkt wechselt. Sicht. Kurs. Erklärung der Kurse.
Amsterdam. k. S. 1423/8

Thaler für 250fl. holl. fest.

Do. 2 Mt. 1421/8
Augsburg. 2 Mt. 56.26 Thaler u. Silbergr. für 100fl. S.W. fest.
Bremen. 8 T. 1091/4 Thaler für 100 Th. Gold od. Louisdor à 5 Thl. fest.
Breslau. 2 Mt. 991/3 Thaler in Berlin für 100 Th. in Breslau fest.
Frankfurt a.M. 2 Mt. 56.26 Thaler u. Silbergr. für 100f. S.W. fest
Hamburg. k. S. 1517/8

Thaler für 300 Mark Banco fest.

Do. 2 Mt. 1511/4
Leipzig. 8 Tage. 993/4

do. für 100 Th. in Leipzig fest.

do. 2 Mt. 991/3
London. 3 Mt. 6.21 Thaler. u. Silbergroschen für 1£ fest.
Paris 2 Mt. 973/8 Thaler für 300 Fcs fest.
Petersburg. 3 Wochen. 995/8 Thaler für 100 R°S. (Silberrubel) fest.
Wien 8 Tage. 931/2

für 150f. Oester. Währung fest.

do. 2 Monat. 921/2
Beispiel.

Wie groß ist der Ertrag von f.1832.50 pr. 7 Mai auf Amsterdam, am 26 Febr. begeben: a) zum Kurs von 1423/8 für die Sicht des Wechsels? b) zum Kurs von 1425/8 für 2 Mt. P. mit 3% Discont?

ad a) 250f. : 1832,5f. = 1423/8 Th. : x
x = 2087217,5 2000 = 1043,6087 Th. (18 sgr.)

ad b) 1. Berechnung: Reduction des Kurses für 2 Mt Papier auf einen Kurs für Papier am 7 Mai fällig.

2 Mt. vom 26 Febr. = 26 April; der Wechsel ist also 11 Tage später fällig; vom Kurse für 3 Mnt P. ist daher der Discont pr 11 Tage zu kürzen. 120 T. = 1,42625; 11 Tage = 0,13. Er beträgt also 0,13 Thl. 142,625 – 0,13 = 142,495 od. 1421/2 Cours für Papier pr. 7 Mai. Demnach:

250f. : 1832,5f = 1421/2 : x
x =  10445,25 1000 = 1044,525 Th. (16 Sgr.)

2 Berechnung. Man betrachtet den Wechsel als 2 Mt. Papier, berechnet ihn nach dem Course dieser Sicht, u. zieht Discont ab für so viel Tage als Wechsel später fällig wird.

250f. : 1832,5f. = 1425/8 : x
x = 1045 Th. 13 Sgr.
ab Discont à 3% für 11 Tage = 29 Sgr.

Also: 1044 Th. 14 Sgr. Diese Rechnung genauer als die erste.|

112

Hamburger Kurszettel. (im Februar 1859)
Plätze womit Hamburg direkt wechselt. Wechselsicht. Cours.
Amsterdam. 3 Mt.

3590/100

3560/100

Gulden holl. Courant für 40 Mark Bo. fest.

Do. kurze Sicht.
Antwerpen. 3 Mt.

191

1893/4

Franken für 100 M.B. fest

Do. k. S.
Augsburg. 2 Mt. 893/4 Gulden S.W. für 100 M.B. fest.
Berlin, Breslau. 2 Mt. 1533/8 Thaler im 30 Th. Fusse für 300 M.B. fest.
Bremen 2 Mt. 1393/4 Thaler Gold für 300 M. Bk. fest.
Frankfurt a.M. 2 Mt. 895/8 Gulden S.W. für 100 M.B. fest.
Genua. 3 Mt. 1931/2 Lire nuore für 100 M.B. fest.
Kopenhagen. k. S. * nicht notirt dänische Reichsthaler für 300 M.B. fest.
Leipzig 2 Mt. 1533/8 Thaler im 30 Rthl. Fuß für 300 M.B. fest.
Lissabon, Porto 3 Mt. 453/4 Schill. Bco für 1 Milreïs fest.
Livorno 3 Mt. 2261/2 tosk. Lire für 100 M.B. fest.
London 3 Mt. 13.2.

Mark u. Schillinge für 1£ fest.

Do. k. S. 13.31/4
Madrid, Bilbao, Cadix. 3 Mt. 421/2 Schillinge Ba. für 1 Peso fuerte (von 20 Reales)
Paris, Bordeaux. 3 Mt. 1911/2

Franken für 100 M.B. fest.

Do. K. Sicht. 1901/4
Petersburg. 3 Mt. 317/8 Shill. Banco für 1 Schilling fest.
Prag, Triest, Wien. 2 Mt. 81.50 Gulden u. Neukreuzer östr. Währung für 100 M. Bo fest.
* Note zu Hamburg Kopenhagen. Da 181/2 Reichsthaler = 273/4 Banco-Mark, wäre das Pari: 200 Rthl. = 300 Mark Banco.
Frankfurter Kurs. (Mitte Febr. 1859[)].
Plätze womit Frankfurt direkt wechselt. Kurse in Gulden Südlicher Währung. Feste Valuten
Amsterdam. 997/8 für 100fl. holl.
Augsburg. 993/4 100fl. S.W. in Augsburg.
Berlin, Köln, Leipzig. 1047/8 60 Th. Preussische Cour.
Bremen. 953/4 50 Th. Gold.
Hamburg. 883/4 100 M. Bo.
London. 117,5/8 10£
Mailand. 116 100 Floreni in Silber.
Paris, Lyon. 933/8 200 Fs.
Triest, Wien. 111 100f. in östr. Währung.

Diese Kurse alle auf kurze Sicht; längre Sichten berechnet man entweder nach den Notirungen für k. S., die man zu diesem Zweck 1/8 od. 1/4f. niedriger annimmt, u. unter Abzug von Discont, od. Käufer u. Verkäufer einigen sich über einen Kurs für die fragliche Sicht. Auf einigen Privat-Courszetteln ist auch ein Cours mit New York notirt mit 2fl. 31 kr. (variabel) für 1$ fest.



b)  Feller/Odermann, S. 345.
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Indirekte Wechselreduktionen
.

Eine indirekte Wechselreduktion findet statt, wenn ein Platz die Valuta eines andren Platzes in die seinige, oder umgekehrt reduciren soll, u. er mit diesem Platz nicht in direktem Verkehr steht. Z.B. Berlin soll eine gewisse Summe spanischer Piaster in preussische Courant nach dem Wechselcours umrechnen. Berlin notirt nicht direkt auf Spanien. Muß sich also eines Mittelplatzes bedienen, der mit beiden Plätzen wechselt, z.B. London. Die mittelst des Kurses dieses Platzes erfolgende Reduction ist eine indirekte.

Eine solche Reduktion findet ferner statt, wenn ein Platz dem andren, statt direkten Papiers, Wechsel auf einen dritten Platz übermacht, die zu einem gewissen Kurs eingekauft u. angenommen werden. Z.B. Leipzig remittirt an London, statt Londoner Papier, Wechsel auf Paris. Ferner wenn eine gewisse Wechselgattung gegen eine andre vertauscht wird, z.B. man verkauft in Berlin Wechsel auf London gegen Wechsel auf Paris u.s.w. Bedient man sich nur der Course eines Mittelplatzes, so kommen bei einer solchen Wechselreduktion keine Spesen vor; bedient man sich aber der Vermittlung dieses Platzes, d.h. läßt man durch ihn trassiren od. remittiren, so sind in den meisten Fällen Spesen damit verbunden. Berechnet der Wechselplatz dergleichen jedoch nicht, d.h. trassirt oder remittirt er franco Spesen, so wird er sich dafür an den Coursen erholen. (Wechselkommission)

Beispiel.

1) Wieviel beträgt am 1 Feller/Odermann: März
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Mai
1859 ein von Mailand auf Leipzig gezogner Wechsel von 964 floreni 75 Soldi, wenn kurz Mailänder in Frankfurt 1007/8 u. kurz Frankfurter in Leipzig 571/8 notirt ist?

x Thaler = 964,75 Fl.
100 Fl. = 116f.
100f. = 57 1/8 Th.
x = 639 Th. 9 ngr.|
113

2) Berlin hat in Madrid 2000 Silberpiaster zu fordern u. trassirt diesen Betrag auf Hamburg zum dortigen Madrider Kurse von 44. Wieviel bringt diese Forderung in Thalern ein, wenn Berlin das Hamburger mit 152 verkauft?

α) Wie groß ist die Tratte des Berliner auf Hamburg? 44β (Schil.) od. 23/4 M.B. × 2000 = M.B. 5500.

β) Ertrag dieser Tratte à 152?

M.B. 5500 à 150 = 2750 Th.
2 = 36 20
2768 Th. 20 Sgr.

c)  Feller/Odermann, S. 347.
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Wechselreduktionen mit Spesen
.

Diese Wechselreduktionen mit Spesen entstehn, wenn ein Platz (ein Commissionär) für die Rechnung eines andren Platzes (eines Committenten) eine gewisse Summe trassirt oder remittirt, oder beides zugleich thut, u. zwar können sie direkt oder indirekt sein.

Die dabei vorkommenden Spesen sind proportionirt od. nicht, d.h. entweder sie steigen oder fallen, da sie procentweis ausgedrückt sind, mit dem Kapital, wie z.B. Provision, Courtage – u. dann läßt sich die Wechselreduktion ganz durch einen Kettensatz machten machen – oder das Kapital hat auf ihren Betrag keinen Einfluß, wie z.B. Briefporto. Beim Remittiren (Einkauf) wirken die Spesen vermehrend, beim Trassiren (Verkauf) vermindernd auf den zu suchenden Betrag oder Ertrag.

Ob aber diese Veränderung nach Procenten vom, auf od. im Hundert zu berechnen ist, kann allein nach der Beschaffenheit des Werths beurtheilt werden, welcher zu ihrer Berechnung gegeben ist.

Da die Spesen nur von dem Betrage des wirklichen Einkaufes oder Verkaufes gerechnet werden können, so

sind Procente vom 100 – (100 = %) stets da zu rechnen, wo der gegebne Betrag wirklich den besorgten Einkauf od. Verkauf bildet;

Procente im 100 – (100  Feller/Odermann (siehe S. 4) verwenden dieses Zeichen für Subtraktionen.
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÷
% = %), wo die Spesen von dem um die Spesen zu vermehrenden hervorgebracht werden;

Procente auf 100 – (100 + % = %), wo der gegebne Betrag so beschaffen ist, daß die Spesen erst mit dem nach Abzug der Spesen verbleibenden Betrag verdient werden. In gewöhnlichen Faellen, wo es sich um geringe Procentsätze u. Beträge handelt, alles vom 100 berechnet.

Beispiele.

1) Hamburg kauft für fremde Rechnung 1800f. auf Frankfurt a/M à 89 u. berechnet 1/2% Spesen. Wie viel Marc Banco beträgt dieß zusammen?

f. 1800 auf Frankfurt a/M à 89 M.B. 2022.8
+ Spesen 1/2% 10.2
M.B. 2032.10.

Die Spesen sind hier vom 100 zu berechnen, denn der Betrag des Frankfurter ist wirklich diejenige Summe, womit Hamburg seine Spesen verdient.

2) Augsburg empfängt 2560 Lire auf Genua zum Verkauf. Wie groß ist der Reinertrag dieser Rimesse, wenn Augsburg sie à 93 (f. S.W. = 200 Lire) verkauft, u. dabei 1/2% Spesen berechnet?

2560 Lire. auf Genua à 93 f. 1190.24.
– Spesen 1/2% 5.57.
f. 1184.27.

Vom Bruttoertrag zieht Augsburg seine Spesen mit 1/2 vom Hundert ab, da auch hier der Bruttoertrag (f. 1190.24) den wirklichen Werth des Geschäfts ausmacht.

3) Frankfurt a/M empfängt am 2 Nov. Ldr. rβ (Thaler Gold) 974 pr. 17 Dec. auf Bremen mit Auftrag, sie zu begeben u. den Nettoertrag in 3 Mt. Londoner anzulegen. Frankfurt vollzieht die Begebung am selben Tag à 957/8 für kurze Sicht mit 3% Discont, berechnet dafür 1/3% Provision u. 1/2% Courtage, und kauft unter Berechnung von 1/2‰ Courtage 3 Mt. Londoner à 1167/8 für kurze Sichte mit 3% Discont. Wie gestaltet sich dieses Geschäft?

50 Ldr. Rth. : 974 = 957/8f. : x
x = 1867f. 93 Kg.
Discont pr 45 T. à 3% 7
Ertrag des Bremer: 1860f. 93 Kg.
Provision 1/3% f.6.12
Courtage 1/2 0/00 .56 7.8.
1853f. 31 Kg.
Courtage 1/2 0/00 (10001/2 = 1/2) 56
1852f. 35 in Londoner Papier anzulegen.
x £ 3 Mt. = 18527/12f.
1167/8f. = 10£. K. Sicht.
991/4 = 100£ 3 Mt.
x = 159£. 14s. 2d.

Provision u. Courtage sind vom 100, resp. 1000 zu berechnen, da sie mit dem gegebnen Ertrag (1860f. 93 39) verdient werden. Die Courtage für den Einkauf des Londoner ist dagegen auf 1000 zu berechnen, da sie nicht mit dem zu ihrer Berechnung gegebnen Betrage (1853f. 31), sondern mit diesem Betrag minus Courtage verdient werden wird, hier also ein vermehrter Werth gegeben ist.

4) Mexico hat für Rechnung Hamburgs 2625$ an New York zu übermachen, seine Spesen aber vorher abzuziehn. Wenn sich diese nun auf 5% belaufen, New York die Piaster mit 33/4% Prämie verkauft, für Empfangen 1% u. für Remittiren ebenfalls 1% berechnet, die übrigen Spesen in New York aber 33$ 6c. betragen, wie viel Marc Banco sind für diese Baarsendung, zum Course von 35, zu remittiren?

$2625 mex. pari $2625.0.
ab 5% Spesen (105 = 5) 125.0
$2500.0.
à 33/4% Prämien Nordamer. $2593.75
Empfangen: 1% (100 = 1) $25.94
Uebrige Spesen 33.06.
59.00.
$2534.75
Remittiren 1% (101 = 1) 25.10
$2509.65.
à 35 M.B. 7170.7β.|
|

114

Der Betrag 2625$ schließt die Spesen ein, die für die Rimesse in Baarem zu berechnen sind, ist also ein vermehrter Werth. Die Spesen sind daher auf 100 zu berechnen. Die Provision für Empfangen ist vom 100 zu nehmen, denn sie wird wirklich mit dem gegebnen Betrage verdient. Da die Provision für Remittiren nur von dem zu remittirenden Betrag genommen werden kann, der gegebne Betrag aber die Provision noch einschließt, so ist sie auf 100 zu berechnen. Die Richtigkeit dieses Verfahrens ergiebt sich aus den von Mexico sowie von New York zu ertheilenden Noten.

Nota von Mexico.
Betrag des Guthabens $2625.
m/ Rimesse: $2500. baar. pari. 2500
Spesen 5% 125
$2625.
Nota von New York.
Rimesse von Mexico $2500 baar. à 33/4 Prämie $2593.75.
Empfangen 1% $25.94
Uebrige Spesen. 33.06
59.
$2534.75
Dagegen m/ Rim. M.B. 7170.7 à 35 $2509.65
Remittiren 1% 25.10
$2534.75.

In diesen Noten erscheinen wiederum sämmtliche Spesen vom Hundert berechnet, weil die gegebnen Beträge diejenigen sind, womit die Spesen verdient werden. Hätten das Haus in Mexico u. das in New York sämmtlich vom 100 berechnet, so hätte der Hamburger Schuft nur M. 7151. 10β statt 7170.7 erhalten.



3)  Feller/Odermann, S. 354.
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Arbitragerechnung.

Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich, daß die Wechsel als Mittel dienen:

a) Als Rimessen; um Schulden an andren Wechselplätzen zu zahlen.

b) Als Tratten (Trassiren); um ausstehende Gelder einzuziehn.

c) aber können sie als selbstständige Handelsobjekte dienen, wo man sie kauft u. verkauft, od. kaufen u. verkaufen läßt, um durch die sich ergebenden Kursdifferenzen zu gewinnen.

Das Remittiren u. Trassiren kann geschehn direkt oder indirekt, in kurzer Sicht oder langer Sicht.

Um Schulden zu zahlen kann man Rimessen machen oder auf sich trassiren (ziehen) lassen.

Um Forderungen einzuziehn kann man Trassiren oder sich Rimessen machen lassen.

 Kommentar von Marx.
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In der Sprache des Wechselgeschäfts geht daher die Dialektik vor sich, daß Trassiren u. Remittiren jedes als eine Form seines eignen Gegentheils erscheint.

Remittiren daher = Wechsel einkaufen, auf sich trassiren lassen, eine Schuld bezahlen.

Trassiren = Wechsel verkaufen, sich Rimessen machen lassen, eine Forderung einziehn.

Frage: Auf welche Weise man beim Trassiren oder Remittiren mit Vortheil operiren könne?

Da zur Beantwortung dieser wichtigen Frage ein Arbitrium (Gutachten) nöthig ist –  Kommentar von Marx.
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die einzige Sorte Arbitrium wie Profitchen zu schneiden, die das Kaufmannsvieh kennt
[–], so heißt diese schauerliche Untersuchung Arbitrage.

Solcher Arbitrage bedarf es jedoch nur dann, wenn Schuld od. Forderung in fremder Valuta ausgedrückt ist. Hat z.B. Leipzig an Hamburg 3000 Rth. zu zahlen, so ist für Leipzig keine Arbitrage zu machen. Entweder läßt sich der Hamburger Rimessen gefallen – dann kauft Leipzig so viel Marc B. als es für 3000 Th. erhalten kann; oder der Hamburger giebt der Tratte auf den Leipziger den Vorzug – dann hat er auf Leipzig 3000 Th. zu entnehmen. Leipzig zahlt auf beiden Wegen immer nur 3000 Th., ni plus, ni moins. Der Hamburger dagegen entwickelt sein Arbitrium, auf welchem Wege er für 3000 Th. die meisten Marken Banco erhält?

Direkte Arbitrage: Die Bezahlung der Schuld od. die Einziehung der Forderung kann durch Rimesse des Schuldners oder durch Tratte des Gläubigers erfolgen. Die Verfallzeit solcher Rimesse od. Tratte, oder nach den Umständen, der Zeitpunkt, zu welchem remittirt oder trassirt wird, müssen der Verfallzeit der Schuld oder Forderung entsprechen. Wenn nicht, kommt Zins od. Discont herein. Immer aber handelt es sich dabei um Wechsel, zahlbar auf dem Platze des Gläubigers od. des Schuldners, also um direktes Papier.

Indirekte Arbitrage: Sobald man untersucht, ob man sich zur Zahlung od. Einziehung von Schuld der Papiere oder der Vermittlung fremder Plätze bedienen kann.

Ebenso, wenn man untersucht, welche Wechselgattungen man zum Gegenstand einer Spekulation machen, oder an welchem Platze man gewisse Papiere ein- oder verkaufen soll, um durch die Kursdifferenzen zu gewinnen.

I)  Feller/Odermann, S. 356.
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Direkte Arbitrage.

a) Wahl zwischen direktem Trassiren u. direktem Remittiren.

Soll eine auf einem andren Platz zahlbare Schuld getilgt werden durch direkte Rimessen, die man dahin macht, oder durch Tratten, die man auf sich ziehn läßt.

Oder soll eine an einem andren Ort ausstehende Forderung eingezogen werden durch Tratten, die man auf denselben ausstellt, od. durch (direkte) Rimessen, die man sich von denselben machen läßt. Welches ist für den, der zu zahlen od. fordern hat, der vortheilhafteste Weg?

Insofern Differenz mit der gegebnen Verfallzeit hinzu kömmt, ist auf Vergütung durch Diskont od. Zinsen Rücksicht zu nehmen.

In Bezug auf die zu vergleichenden beiderseitigen Course (die Hin- und Herkurse) treten 2 Fälle ein.

Entweder beide Plätze haben für ihre gegenseitige Coursnotirung dieselbe feste Valuta, z.B. 300 Bk. Mc. bei dem Kurs von Leipzig auf Hamburg, u. von Hamburg auf Leipzig.

Oder die festen Valuten sind verschieden. Z.B. beim Kurs von Frankfurt a/M 60 Th. fest für 105f. + ÷; beim Kurs von Berlin auf Frankfurt a/M 100f. fest für 57 Th. + ÷. Bevor im leztren Fall die Kurse verglichen werden können, müssen sie auf ein- und dieselbe feste Valuta reducirt werden, u. zwar ist es am besten d. Kursnotirung des fremden Platzes auf die feste Valuta des eignen zu reduciren.

Z.B. bei einer Arbitrage, die Berlin mit Frankfurt macht, die Frankfurter Kursnotirung auf Berlin, 1043/4f. K. Sicht auf die dem Berlin Frankfurter Kurs zu Grund liegende feste Valuta (100f.)

1043/4f. : 100f. = 60 Th. : x
x = 57,3.

Wäre nun Frankfurt in Berlin mit 57f. K. S. notirt, so wäre für Berlin sein eigner Kurs (57) gut zum Remittiren; d.h. wenn es an Frankfurt zu zahlen hätte, so würde es mit Frankfurter Wechseln bezahlen, welche es à 57 Th. à 100f. kaufen kann. Dagegen eignet sich für Berlin der Frankfurter Berliner Kurs (1043/4) zum Trassiren, d.h. es würde sich von Frankfurt Rimessen machen lassen à 1043/4. Dieß wäre ebenso, als hätte es selbst à 57,3 trassirt, u. dieser Weg würde ihm |115 0,3 Th. für jede 100f. mehr einbringen, als wenn es à 57 selbst trassirt hätte.

Ohne Rechnung findet man aus:

Frankfurter Kurs auf Hamburg 883/4 (fl. für 100 M. B);
Hamburger Kurs auf Frankfurt 881/2 (fl. für 100 M.B.);
daß Frankfurt eine Forderung auf Hamburg durch eine Tratte à 883/4 einziehn,
Frankfurt dagegen Schuld an Hamburg von diesem Platz auf sich trassiren lassen wird.
Ebenso: Hamburg Amsterdamer Kurs für k. S. 35.95 (Gulden holl. Kurant für 40 Mc. Bco.)
Amsterdam Hamburger Kurs, k. S. 36.
Wenn Hamburg arbitrirt, 35.95 gut zum Trassiren, wenn Hamburg an Amsterdam zu fordern hat. (Hamburg wird auf Amsterdam 35,95 trassiren)
36 gut zum Remittiren, wenn Hamburg an Amsterdam zu zahlen hat, lässt es von Amsterdam à 36 auf sich trassiren.
Im ersten Fall erhält es für seine Forderung die größtmögliche Summe in Marc Bc.,
Im zweiten Fall zahlt es für Schuld die möglichst kleinste Summe in Marc Bc.
Z.B. Hamburgs Forderung f.4000., so bringt sie auf 35,95 trassirt (35,95 : 4000 = 40 Marc Banco : x) 4450 Mc. Bco. 10β ein;
v. Amsterdam à 36 remittirt, nur (36 : 4000 = 40 M.B. : x) 4444. 7β.
Solche einfache Vergleichung der beiderseitigen Course genügt aber nicht, wenn die Forderung od. Schuld in andrer als kurzer Sicht fällig ist. Zinsberechnung kommt dann herein.

Beispiele.
1) Beispiel.

1) Berlin schuldet an Hamburg 2 Mt. dato, Bc. Mc. 6000, u. kann 2 Mt. Hamburger à 150 kaufen; wonach ihm die Bezahlung seiner Schuld durch Rimesse kostet Th. 3000.

2 Mt. Berliner ist in Hamburg mit 152 zu begeben; eine Tratte des Hamburger auf Berlin, 2 Mt. dato, kosteten also Th. 3040.

Berlin würde also nach dieser Rechnung, wenn es selbst remittirte 40 Th. Profit haben.

Nun ist aber die Tratte des Hamburger erst nach 2 Mt. zahlbar.

Berlin hat aber für seine Rimesse 3000 Th. bar bezahlt. Dieß würde auf 5% p. J. (vom Berliner berechnet) auf 3000 Th. pr 2 Mt. 25 Th. machen.

Die Rimesse kostet den Berliner also zur Zeit, wo die Tratte des Hamburger fällig wird 3025 Thaler.

Dagegen erhält der Hamburger die Forderung, die ihm durch Rimesse des Berliner erst nach 2 Mt. eingehn würde, u. die ihm nicht früher eingehn soll, durch den Verkauf seiner Tratte baar, u. hat somit dem Berliner die Zinsen pr 2 Mt. zu vergüten. Ebenfalls à 5% genommen, u. der Kürze halber auf den Betrag der Tratte 3040 berechnet, betragen die Zinsen 251/3 Th., so daß die Tratte nur auf 3040 ÷ 251/3 = 30142/3 Th. zu lauten hat.

Also muß die Zahlung der Schuld nicht durch Rimesse (à 150), sondern durch Tratte des Hamburger (à 152) geschehn, wodurch der Berliner 101/3 Th. gewinnt. =  775 2261 %.

Die Vergleichung der Kurse 150 u. 152 hat demnach in folgender Weise zu geschehn:

Berlin-Hamburg 150. Hamburg-Berlin 152
Zinsenverlust pr 2 Mt. à 5%% 11/4 Zinsenvergütung pr. 2 Mt. à 5% 14/15
Berlin zahlt also nach 2 Monaten 151,1/4; Hamburg trassirt 2 Mt. nur 15011/15

151 1/4 ÷ 15011/15 – diese Differenz, die Berlin für je 300 M.B. weniger zu zahlen hat, beträgt auf 6000 M.B. 101/3 Th., u. ergiebt für Berlin Gewinn von 775 2261 %. Die Vergleichung dieser Fälle zeigt, daß beide Course auf Course für kurze Sicht reducirt worden sind, u. nur einfache Vergleichung der Kurse stattgefunden hat, wenn Forderung oder Schuld baar fällig sind.

Daß die Zinsen dem Berlin-Hamburger Kurs hinzufügen waren, klar, da die für 300 Mc. Bo. baar ausgegebnen 150 Th. nach Verlauf von 2 Mt. um die Zinsen für diese Zeit theurer werden.

Vom Hamburg-Berliner Kurs aber waren sie abzuziehn, da der Hamburger, um dem Berliner die Zinsen zu vergüten, nicht 152 Th. für 300 Mc. B., sondern um soviel weniger zu trassiren hat, als die Zinsen pr 2 Mt. betragen u. die um die Zinsen verminderte Summe in Thaler reducirt.

Deutlicher wirds, wenn man die Zinsen auf den Betrag der Forderung berechnet u. die um die Zinsen verminderte Summe in Thaler berechnet.

Die Zinsen pr 6000 M.B. für 2 Mt. à 5%, betragen 50 M. Bco. Bleiben also zu trassiren 5950 M.B., u. diese à 152 = Th. 3014.20.

2 Beispiel.

Hamburg hat an Paris 10500 Fs., 3 Mt. dato, zu fordern. Tratten auf Paris, 3 Mt. dato, sind à 189 zu begeben; Rimessen in 3 Mt. Papier würde Paris würde Paris à 186 machen. Die Zinsen berechnet Paris in Contocorrent mit 6%; Hamburg kann zur Zeit für sein Geld nur 4% verdienen. Wie ist die Forderung einzuziehn?

 Feller/Odermann, S. 358.
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a) Vergleichung der Kurse
.
Hamburger Paris Cours. 189 Paris-Hamburger Cours. 186
Zinsen pro. 3 Mt. à 4% 1.89 Zinsen pr 3 Mt. à 6%: 2,97 2,79
187,11. 188,79.

Hamburg giebt also, wenn es trassirt 187,11 fcs, hin um dafür 100 M.B. zu erhalten, während es, bei einer Rimesse von Seiten des Parisers, 188,79 fcs hingeben muß, um 100 M.B. einziehn zu können. Die Einziehung der Forderung durch Tratte auf Paris ist also vorzuziehn.

Um den Gewinn, den der Hamburger auf diesem Wege macht, in Procenten bestimmen zu können, reducire man beide Course auf die feste Valuta von 100 fcs. 187,11 giebt dann 53,44 Mc. Bco, 188,79 = 52,97 M.B. Hamburg erhält also für 100 F. auf dem 2. Weg 0,47 M.B. mehr, was einen Gewinn von 0,85% ergiebt.

 Feller/Odermann, S. 359.
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b) Berechnung der gegebnen Summen
.
Hamburg trassirt Fcs 10,500 à 189 M.B. 55555/9 5611,1/9 M.B.
Zinsengewinn prt 3 Mt. à 4% 555/9 M.B.
Paris hat zu remittiren 10,500 Fcs.
Es kürzt für Zinsen pr 3 Mt. à 6% 157,50. Bleiben: F. 10342.50.
Wofür es à 186 remittirt 556015/31
Hamburgh gewinnt also, wenn es selbst trassirt 50175/279 M.B. |
116

Dieß macht 0,91%, was mit obigem Resultat (0,85%) nicht übereinstimmt. Grund liegt in der ungenauen Berechnung der Zinsen. Praktisch unwichtig. In diesem Beispiel hat Hamburg, also der Platz, der die Arbitrage macht, die feste Valuta.

Auf den Hamburg-Pariser Cours 189 ist der Zinsengewinn pr 3 Mt. à 4% in Anschlag zu bringen. Dieser Gewinn bessert den Cours, u. zwar da hier von einem Verkaufe die Rede ist, in der Weise, daß der Hamburger weniger als 189 Fs. für 100 M. zu geben hat. Die Zinsen von der Courszahl also in Abrechnung zu bringen, aber nicht, (wie oben in der Berechnung der Summe (p. 115) geschehn, nach Procenten vom, sondern nach Procenten auf 100, da 189 = einem Werth, der um die Zinsen vermehrt ist. Also:

Pariser 3 M. in Hamburg 189
Zinsen pr. 3 M. à 4% = 1% (101 : 189 = 1 : x) 1 88/101
187,13 ⦗nicht wie oben, 187,11⦘

Dem Hamburg-Pariser Kurs sind die Zinsen zuzufügen, da sich der Cours für den Hamburger verschlechtert, der Zinsen wegen, die dem Pariser zu vergüten. Sie sind aber nach Procenten im 100 zu berechnen, weil der Cours 186 einen um die Zinsen verminderten Werth darstellt. Demnach:

Hamburger 3 Mt. in Paris 186
Zinsen pr. 3 Mt. à 6% = 11/2% (981/2 : 186 = 11/2 : x) 2164/167
188164/167 od. 188,99.

Reducirt man, um den Gewinn des Hamburgers in Procenten zu bestimmen, die so gefundnen Course auf eine feste Valuta von 100 fcs., so wie oben 53,439 M. u. 52,957 M., also ebenfalls 0,91% Gewinn.

3) Beispiel.

Augsburg schuldet an Livorno 2400£, 3 Mt. dato. Tratten auf Augsburg, 3 M. dato, sind in Livorno à 2491/2 zu begeben; Zinsen in Contocorrent 5%. Augsburg kann 1 Mt. Livorneser à 987/8 kaufen, u. rechnet sich ebenfalls 5% Zinsen. Wie soll Augsburg seine Schuld zahlen?

Livorno-Augsburger Kurs 2491/2 (£ = 100f. S.W: S.W.)
Dieser Liv. Augsb. Cours nun Reducirt auf die feste Valuta des Augsb. Livorn. Kurses – 250£ – giebt:
2491/2£ : 250£ = 100 fln : x
x = 100,200.

Augsburger 1 Mt. Cours auf Livorno. 98,875
Zinsenverlust für 3 Mt. à 5% wegen des baaren Einkaufs = 11/4%
Als Zinsvergütung von Livorno für frühren Empfang des Geldes 2 Mt. à 5% = 5/6
5/12% (1005/125/12)
0,400 99,275
Livorno Cours auf Augsburg 100,200
Zinsen für 3 Mt. à 5% (983/4 = 11/4) 1,269
98,931

Hieraus ergiebt sich, daß es für Augsburg vortheilhafter ist, auf sich trassiren zu lassen, weil es auf diesem Wege für 300£ nur 98,931f. bezahlt, während es, wenn es remittirt, je 250£ mit 99,275f. kaufen muß. Unterschied von 0,33%.

Berechnung der Summe.
Livorno trassirt für seine Forderung von £2400, unter Vergütung von 5% Zinsen für 3 Mt. (£30) à 2491/2 S.W. f.949. 54.
Statt £2400 – in 3 Mt. Papier – remittirt Augsburg, unter Abzug von £20, für Zinsen p. 2 Mt. à 5% – £2380 u. zahlt dafür à 987/8 f.941. 17
Zinsenverlust darauf pr 3 Mt. à 5% 11. 46
S.W. f.953. 3.
Unterschied zu Gunsten der Tratte des Livorneser 3f. 9 kg.
4 Beispiel.

Amsterdam schuldet an Paris 6000 Fcs, 2 Mt. dato u. kann 2 Mt. Papier à 561/2 kaufen. Der Discont steht in Amsterdam 21/2%. 2 Mt. Amsterdamer ist in Paris mit 209,15 zu begeben u. Paris vergütet in Contocorrent 4% Zinsen. Auf welche Weise wird Amsterdam seine Schuld zahlen?

Zuerst ist der Paris-Amsterdamer Cours auf die feste Valuta der Amsterdam Pariser zu bringen.

209,15 Fcs : 120 Fcs = 100fl. : x
x = 57,375.
Amsterdam-Pariser 2 Mt. Cours 56,5
Discont p. 2 Mt. à 21/2% 0,235 56,735
Paris Amsterdamer 2 Mt. Cours 57,375
Zinsen pr 2 Mt. à 4% 0,3825 56,9925
Es ist demnach für den Amsterdamer vortheilhafter, seine Schuld durch Rimessen zu decken. Gewinn = 0,45%.|

117

b) Wahl zwischen kurzer u. langer Sicht.

Sobald ein Platz A einem Platz B x Geld in kurzer Sicht zu zahlen hat,

für A) Frage, ob nicht vortheilhaft, die Schuld mit langsichtigem Papier zu decken, sei es, daß letzteres am Zahlungsort diskontirt werde, od. daß der Gläubiger Zinsen für dessen spätren Eingang berechne;

oder A) hat die Schuld in langsichtigem Papier zu decken; Frage für A, ob sie nicht in kurzsichtigem Papier bezahlt werden kann, vorausgesezt, daß der Gläubiger Zinsen vergüte.

Ferner kann man fragen, ob eine Forderung in kurzer Sicht nicht durch Tratten in langer Sicht, u. umgekehrt eingezogen werden kann, wobei die Zinsen in Betracht kommen, die der Schuldner dem Gläubiger vergütet od. zur Last bringt, was besonders dann vorkommt, wenn Gläubiger u. Schuldner miteinander in laufender Rechnung stehn.

In allen diesen Fällen zu untersuchen, ob der Unterschied zwischen kurzer u. langer Sicht bei Einkauf od. Verkauf mit Abzug für Discont, beziehungsweis für Zinsen od. mit der Zinsenvergütung am andren Platz übereinstimmt od. nicht.

I) Beispiel.

Berlin schuldet 8500f. S.W. in Frankfurt a/M kurze Sicht. Es kann zu 57 in kurzer Sicht od. zu 561/4 in 2 Monatspapieren remittiren; was ist vortheilhafter, da der Discont in Frankfurt 4%?

Vergleichung der Kurse.  Zusatz von Marx.
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(Erste Lösung) N. 1.

Langsichtige Wechsel sind wohlfeiler als kurze, u. zwar, wenn nicht andre Ursachen einwirken, um soviel als die Zinsen auf den Zeitunterschied ausmachen.

Wenn kurzes Frankfurter 57, sollte 2 Monatpapier, bei Discont von 4%, 56,62 od. 565/8 werth sein. Die Zinsen auf 57 Th. in 2 Monaten à 4% betragen 0,38 Th. u. müssen, da hier die feste Valuta im Ausland ist, subtrahirt werden.

Der wirkliche Cours des 2 Monatpapiers ist aber 561/4, mithin niedriger, deßhalb thut Berlin besser zu remittiren.

Vergleichung nach Procenten.  Zusatz von Marx.
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(Zweite Lösung) N. 2.

Wenn x Frankfurter Gulden, in kurzer Sicht angelegt, 100 Th. kostet, was kostet dieselbe Summe, unter Berücksichtigung dieses Disconts, in langer Sicht, od. umgekehrt.

Discont pr 2 Mt. à 4% pr Jahr = 2/3%.

α) x = 100 Th.
57 Th. = 100fl. S.W.
991/3f. = 100f. 2 Mt. P.
100f. = 561/4 Th.
x = 99,34 Th.
β) x = 100 Th.
561/4 Th. = 100fl. 2 Mt. Papier.
100f. = 991/3f. in k. Sicht.
100f. = 57 Th.
x = 100,66 Th.

Der erste Ansatz zeigt, daß für eine Rimesse, die in kurzer Sicht 100 Th. kostet, in 2 Mt. Papier nur 99,34 Th. kostet; der zweite Ansatz, daß eine Rimesse, die in 2 Mt[.] Papier mit 100 Th. zu haben ist, in kurzer Sicht 100,66 Th. bezahlt werden muss. In beiden Fällen Gewinn von 0,66 od. 2/3% zu Gunsten des 2 Monatpapiers.

Berechnung der ganzen zu remittirenden Summe.  Zusatz von Marx.
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(Dritte Lösung) N. 3

Wenn Berlin in kurzer Sicht remittirt, kosten ihm die schuldigen f.8500 S.W.

100 : 8500 = 57 : x
x = 4845 rβ

Wählt es dagegen 2 Mt. P., so muß es um so viel mehr geben als der Discontabzug in Frankfurt ausmacht.

Betrag der Rimesse: 991/3 : 8500 = 100 : x
x = 8557f. 3 Kg. S.W.

Denn wenn Frankfurt a/M diesen Wechsel zu 4% diskontiren läßt, so bleiben ihm grade die ihm zukommenden f.8500.

Diese Rimesse würde dem Berliner zu 561/4 (100 : 8557,05 = 561/4 : x) 4813 Th. 10 Sgr. kosten, was verglichen mit 4845 Th. wieder Unterschied von nahe 2/3% zu Gunsten der langsichtigen Rimesse darbieten.

Vergleichung des Discontfusses.  Zusatz von Marx.
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(Vierte Art die Aufgabe zu lösen) N. 4

Subtrahirt man von 57 (Cours der k. S.) den Kurs des 2 Mt. P. 561/4, so findet man 3/4 Th. Zinsen für 2 Mt auf 57,
für 12 Mt. = 3/4 × 6 = 41/2 auf 57,
also 57 : 100 = 41/2 : x = 717/19%.

Berlin gewinnt also 717/19% jährlich, während es in Frankfurt nur 4% durch den Diskont verlirt. Folglich Rimesse in langer Sicht vortheilhaft.

Bei langsichtigen Wechseln, zur Ausgleichung einer Schuld remittirt, wird, wenn sie der  Feller/Odermann: Gläubiger
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Gläubige
diskontiren lassen soll, dafür in der Regel keine Provision, wohl aber Courtage gerechnet. Nimmt man dieselbe im obigen Fall zu 1‰ an, so ergiebt sich nur ein Gewinn von 17/30%.

Von diesen 4 Berechnungsarten ist N. 1 die einfachste, u. darum in der Praxis gebräuchlichst. Sie ist allein in folgenden Exemplen angewandt.|

118

II Beispiel.

Paris hat an Hamburg in k. Sicht zu fordern u. kann in dieser Sicht à 1891/2 trassiren. (Feste Valuta: 100 M.B.) Tratten 3 Mt. dato sind à 1871/4 anzubringen, die Zinsvergütung dafür in Contocorrent beträgt 4%. Wie wird Paris trassiren?

4% Zinsen p. Jahr = 1% pr. 3 Mont.
Der 3 Mt. Kurs bessert sich also um 1% = 1,8725
u. giebt somit 189,1225 Fcs für 100 B. M. in k. S.
Da aber kurze Sicht in der That mit 189,5 zu begeben ist, so Tratten in k. S. vortheilhafter als Tratten 3 Mt. dato.

III Beispiel.

Hamburg hat an Augsburg in 2 Mt. Papier zu zahlen (feste Valuta zu Hamburg 100 M.B.) u. kann 2 Mt. Augsburger mit 883/4 kaufen. Kurze Sicht ist mit 881/4 zu haben. Augsburg vergütet in Contocorrent 4% Zinsen. Welche Art Rimessen soll Hamburg wählen?

Zinsen pr 2 Mt. auf 881/4 betragen 0,59 od. ca. 7/12.
2 Monatpapier, da es wohlfeiler sein muß u. die Zinsen, weil die feste Valuta im Inland ist, addirt werden müssen, demnach auf 885/6 stellen.
Hamburg deckt in kurzer Sicht mit 100 M.B. = 885/6f.
durch Rimessen in 2 Mt. Papier 100 M.B. = 883/4 gedeckt. Also Rimessen in kurzer Sicht vorzuziehn.

IV Beispiel.

Hamburg hat an Amsterdam 3 Mt. dato zu fordern (feste Valuta 40 Mark Banco zu Hamburg) u. kann Tratten in dieser Sicht à 36.05 begeben. Es könnte aber auch in k. S. à 35.60 trassiren, was ihm 6% Zins kosten würde. Wie soll es seine Forderung einziehn?

k. S. = 35.60
Zins pr 3 Mt. à 6% = 11/2% = 0.53
3 Mt. aus k. S. = 36,13.
Wirklicher 3 Mt Kurs 36,05.
Also besser 3 Mt. trassiren, weil Hamburg auf diesem Weg für 36,05f. den Betrag von 40 M.B. erhält, während durch Tratten in k. Sicht 36,13 für 40 M.B. zu „begeben“ sind.  Marx verweist auf die Manuskriptseite 135 des vorliegenden Hefts, auf welcher er an der hier unterbrochenen Stelle weiter exzerpiert.
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(Sieh. cont. p. 135)

 Anmerkung von Marx.
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Ehe wir nun übergehn zur Arbitrage auf indirektem Weg,

 Marx’ Wort.
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Intermezzo
. (Kettenregel, und Prozentrechnung)

 Feller/Odermann, S. 136.
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Kettenregel.

 Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Zunächst entspringt diese Scheisse einfach aus Reihe von einzelnen Regel de Tri-sätzen, u. wird gewonnen, indem man aus dieser Methode das Nutzlose wegläßt.

Z.B. Was kosten 2500lb Waare in Friedrichsd’or à 52/3 Th., wenn 1 Loth 3 Pfennig in Berlin kostet?

1) Verwandlung der 2500lb in Loth: 1lb : 2500lb = 32 Lth : x. x = 80,000 Lth.
2) Werth in Pfennigen: 1 Lth : 80,000 = 3 Pf. : x. x = 240,000 Pf.
3) Verwandlung der Pfennige in Thaler: 360 Pf. : 240,000 = 1 Th : x. x = 6662/3 Th.
4) Verwandlung der Thaler in Friedrichsdor: 52/3 Th. : 6662/3 = 1 Fr. : x. x = 11711/17 Fd’or.

  Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Verwandelt od. rather verkürzt man diese Scheisse nun in Kettenregel, so gestaltet sich die Aufstellung, aufgrund mit dem x (der Benennung des x), welches die Hauptfrage bildet, wie folgt:

x Fd’or = 2500lb.
1 = 32 Lth.
1 = 3 Pf.
360 = 1 Th.
52/3 = 1 Friedd’or.

Also der Kettensatz fängt immer mit der Benennung an, für welche man die zur Gleichung fehlende Zahl suchen will, od. in andern Worten, mit derjenigen, auf welche die Hauptfrage in der Gleichung gerichtet ist.

Diejenige Benennung, mit welcher man rechts geschlossen, muß in der nächsten Gleichung links wieder anfangen.

Der Kettensatz schließt mit der Benennung, welche überhaupt gesucht wird, so daß die Münz-Maaß-Gewichtssorte etc, welche durch die Ausrechnung zu finden, auf der linken Seite der ersten u. auf der rechten Seite der lezten Gleichung zur Erscheinung kommt.

Die Ausrechnung geschieht in derselben Weise wie für die Regel Multiplex.  Kommentar von Marx.
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Die Regel Multiplex ist eine zusammengesezte Regel de Tri, u. folgendes sind die kaufmännischen Recepte über diese ganze Scheisse.

1)  Feller/Odermann, S. 98.
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Einfache Regel de Tri
.

Steigende od. Fallende Proportion: 8 : 56 = 3 : 21 Steigende Proportion. 56 : 8 = 21 : 3 fallende Proportion.

Die Regel de Tri, i.e. die Proportion, wodurch x gefunden wird kann Direkt od. Indirekt sein.

Direkt: z.B. Kleinere Zahl a : zur grössren Zahl b = kleinere Zahl c : zur grössren Zahl x.

Oder: Grössre Zahl b : kleinere Zahl a = x : kleinere Zahl c.

Indirekt. Kleinere Zahl a : grössre Zahl b = grössre Zahl c : x (kleinere Zahl)

Oder: Grössre Zahl c : kleinere Zahl b = kleinere Zahl d : x (grössre Zahl.)

Je nachdem mehr od. weniger herauskommen soll, muß das erste Verhältniß steigend oder fallend angesezt werden.

Man findet das 4 Glied x durch Multiplication des 3. Glieds mit dem Exponenten des ersten Verhältnisses.

Z.B. 8 : 56 (= 7 × 8) = 3 : x. x = 3 × Exponent des ersten Verhältnisses, = 3 × 7 = 21
oder: 56 : 8 (56 × 1/7) = 21 : x. x = 21 × Exponent des ersten Verhältnisses, = 21 × 1/7 = 3.

Die Multiplication von Glied 4 × Exponent des ersten Verhältnisses = Division des ersten Glieds in das aus Multiplication des 2 und 3 Glieds entstandne Produkt.

Z.B. 8 : 56 = 3 : x. x = 3 × 56/8 = 3 × 7. Dasselbe wie x = 3×56 8 .

In den Aufgaben der Regel de Tri ist Eins der Glieder oft = 1. In diesem Fall die Ausrechnung Division oder Multiplication. Sonst, wenn kein Glied = 1, aus Beiden bestehend.

Daher: Multiplikationsaufgaben; Divisionsaufgaben; oder, drittens Gemischte Aufgaben. Alle diese 3 Fälle haben es mit direkten oder indirekten Verhältnissen zu thun.

a)  Feller/Odermann, S. 100.
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Einfache Regel de Tri mit direkten Verhältnissen
.

1) Multiplikationsaufgaben: Da für Produkt die Benennung der Faktoren gleichgültig, kann man diese, wenn vortheilhaft, mit einander vertauschen.

Z.B. Was kosten 120lb. à 57 Kg.? Ebensoviel als 57Lb zu 120 Kg. oder 2fl.

Ebenso kann man Nullen versetzen. Was kosten 1500lb zu 19 ngr.? Soviel als 1900lb zu 15 ngr. oder à 1/2 Rth.

Wie viel kosten 329lb à 16 Sgr. 3 Pf.?
329lb à 15 Sgr = 164 Th. 15 Sgr.
à 1 Sgr. 3 Pf. = 13, 211/4
178 Th. 61/4 Sgr. |
119

2) Divisionsaufgaben: Hier wird von einem Wert > < 1 auf den Werth der Einheit geschlossen.

Z.B. Was kostet 1 Ctr, wenn 17 Ctr. 70 Thl. kosten. 1 Ctr = 70/17.

Oder: Für 17 Thl. erhält man 119 Stück. Wieviel für 1 Th? = 119/17.

Oder: Was bezahlt man für 10 Stück, wenn für 17 Stück 1 Th.? 1/17 Th. × 10.

3) Gemischte Aufgaben: Man multiplicirt das 3te Glied mit Exponent des ersten Verhältnisses, od. multiplicirt 3 Gl. × 2t Glied u. dividirt durch 1 Glied.

b)  Feller/Odermann, S. 129.
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Einfache Regel de Tri mit indirekten Verhältnissen
.

12 Arbeiter brauchen 90 Tage; wie viel 100 Arbeiter (weniger)? 100 A. : 12 = 90 T. : x. x = 104/5 T.

1 Dampfmaschine von 24 Pferdekraft braucht zu gewisser Arbeit 4 Tage, wie viel eine von 16 Pferdekraft? (mehr) 16 : 24 = 4 : x. x = 6 Tage.

Mit 8 Pflügen erfordert 1 Stück Feld 17 Tage, wie viel mit 12 Pf. (weniger)? 12 : 8 = 17 : x. x = 111/3 Tage.

Wieviel braucht Jemand, der täglich 6 Meilen macht, wenn ein andrer, bei täglich 7 Meilen, 12 Tage braucht? (Mehr) 6 : 7 = 12 : x. x = 14 T.

2)  Feller/Odermann, S. 131.
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Zusammengesezte Regel de Tri
.

Hat es mit mehr als 4 Gliedern zu thun. Sind Verhältnisse gegeben, so Regel multiplex; sind Gleichungen gegeben, so Kettenregel.

Regel Multiplex.

Man will z.B. wissen, wie viel Lohn 10 Arbeiter erhalten, die 8 Tage arbeiten, wenn 15 Arbeiter, die nur 6 Tage arbeiten, 7 Thaler bekommen?

Solche Aufgaben lassen sich zunächst durch ebenso viele Regel de Trisätze lösen als Verhältnisse gegeben sind.

Z.B. im obigen Fall. Zuerst Lohn berechnet nach Zahl der Arbeiter. 15 : 10 = 7 : x. x = 42/3 Th.

Nun aber arbeiten die 10 Arbeiter 8 Tage statt 6. Also: 6 : 8 = 42/3 Th. : x. x = 62/9 Th. Lohn von 7 Th. ist zuerst nach dem Verhältnisse 15 : 10, u. das das das so gefundne Resultat, 42/3 Th., nach dem Verhältniß 6 : 8 verändert worden.

Also haben beide Verhältnisse auf die 7 Th. gewirkt. Diese Einwirkung läßt sich nun aber noch auf folgende Weise darstellen:

1) 15 : 10 = 7 : x oder: x : 7
2) 6 : 8 15 : 10
6 : 8

Aus der ersten Gleichung ergebe sich: x =  7×10 15 u. aus der zweiten x =  8×7 6 . Also x = 7×10×8 15×6 . = D. Product aller zweiten u. dritten Glieder Product der ersten Glieder

Das nähere Verfahren ist nun dieß: a) Man mache die gemischten Zahlen zu ganzen Zahlen u. setze die Nenner auf die entgegengesezte Seite. Decimalbrüche werden durch Weglassung des Komma in Ganze verwandelt. Die Nenner (10, 100 etc) sind, wie die Nenner der Gemeinen Brüche, auf die entgegengesezte Seite zu bringen.

b) Soweit als möglich, die Glieder beider Seiten zu kleinern, od. gegen einander aufzuheben; c) Produkt aller Glieder rechts dividirt durch Produkt der Glieder links.

Wenn 15 Mann in 30 Tagen 100 Stück fertigen, wie viel Stücke von 18 Mann in 45 Tagen?

15 M. : 18 M. = 100 St. : x
30 T. : 45 T.
x = 18×100×45 15×30  = 10 × 18 = 180.

Eine Dampfmaschine von 30 Pferdekraft bewegt in 3 Wochen à 6 Tagen à 12 Stunden eine Erdmasse von 4° Länge, 21/2° Breite u. 21/2° Höhe.

In wie viel Wochen ununterbrochner Arbeit wird eine Erdmasse von 10° Länge, 31/2° Breite u. 2° Höhe durch eine Dampfmaschine von 25 Pferdekraft bewegt?

25 Pferdekraft. : 30 Pf. = 3 Wochen : x 25 Pf. : 30 Pf. = 3 W. : x
168 St. : 72 St.
25 Kubik°ruthen : 70 Kubik.°
x = 3×30×72×70 25×168×25  = 48/25 Wochen.
7 T. : 6
24 St : 12
4° L. : 10° L. = 25 Kubikruthen : 70
21/2° B. : 31/2° B.
21/2° H. : 2° H.

  Marx bezieht sich auf Manuskriptseite 118 des vorliegenden Hefts, wo er sein Exzerpt mit einem Einschub über die „Regel de Tri“ unterbrochen hatte. An diese Stelle knüpft er mit dem folgenden Beispiel aus Feller/Odermann, S. 137 wieder an.
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Kehren wir nun zurück zur Kettenregel. (Sieh vorige Seite)

Was kostet 1 Wiener lb in Neukreuzern, wenn 100 Neue Hamburger Pfund mit 361/4 Mk. Banco bezahlt wurden? 25 Wien. Pf. = 28 Hab. Pfd, u. 21fl. östr. = 273/4 Mc. Banco.

x Neukreuzer = 1 Wiener lb. x Nkz.  Diese Spalte von Marx ergänzt.
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= 1 W. lb.
25 = 28 Hamburger lb. 25 = 28 Hb. lb.
100 = 361/4 M B. 100 = 145/4 M.B.
273/4 = 21fl. östr. 111/4 = 21f. östr.
1 = 100 Nkr. 1 = 100

Der Dividend von1×28×145/4×21×100 (28×21×100)×145/4
        Divisor:            25×100×111/4× 1       (25×100)×111/4

od. ( 28×21×100 25 × 100 ) ×  145/4 111/4 145/111. Also |120 Nenner 4 unberücksichtigt zu bleiben.  Die Rechnung des Beispiels ist von Marx mit Zwischenschritten ergänzt worden.
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Man hat also: x =
  28×145×21×100 25×100×111 28×145×21 25×111 28×29×21 5×111 28×29×7 5×37 = 5684 185 = 30,71 Nkz.

Was kostet ein Bogen Druckpapier in fzs. Centimen, wenn der Ballen in Berlin 30 Th. kostet? (1 fc = 28 Kg. südl. Währung; 7fl. südl. Währung = 4 Th.) 1 Ballen = 10 Ries, 1 Ries = 20 Buch, 1 Buch = 25 Bogen.) (1fl. = 60 Kg. S.W.[)]

x ctimes = 1 Bogen?  Diese Rechnung der Zwischenschritte ebenfalls von Marx. Bei Feller/Odermann nur letzter Schritt und Ergebnis.
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x =
  30×7×60×100 25×20×10×4×28 30×7×60×4 20×10×4×28 30×7×60 20×10×28 30×7×3 10×28 3×7×3 28 3×3 4 9 4 = 21/4 Ctimes.
25 = 1 Buch
20 = 1 Ries
10 = 1 Ballen.
1 Ballen = 30 Th. (in Berlin)
4 = 7fl. S.W.
1 = 60 Kg. S.W.
28 = 1 fc.
1 = 100 centimes.

Wie viel Neugroschen kosten 1 [(](neue) sächsische) Elle, wenn 1 Stück von 243/8 yards kostet 1£ 5s., 21 neue sächs. Ellen = 13 yards, 1£ = 63/4 Th.?

x Ngr = 1 Elle.
21 = 13 yds.
243/8 = 1£. 5s. (11/4£.)
1 = 63/4 Th.
1 = 30 Ng.

Wenn wir die Brüche in unächte verwandeln so haben wir:

x Ng. = 1 Elle.  In den Brüchen eigenständige Ergänzungen von Marx. Siehe Feller/Odermann, S. 138
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Dieß gäbe: x =
  (13×30)×(5/4)×(27/4) 21×(195/8) = ( 13×30 21 ) × (5×27)/4 195/8
= 13×30 21 × 5×27 4 × 8 195
= 13×30×5×27×8 21×195×4
21 = 13 yds.
195/8 = 5/4£.
1 27/4
1 = 30 Ng.

 Anmerkung von Marx.
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Wenn also verschiedne Nenner links u. rechts, so läßt man do. Nenner unberücksichtigt, × Divisor mit Nenner d. Dividend u. Dividend mit Nenner. Divisor.

Was kostet 1 Stück in England, wenn 32 Gross in Leipzig 13014/25 Th. kosten? (1£ = 25 Fcs. 50 ct. 5 Fcs. = 21/3fl.) 1 Gross = 144 St.

 Die folgenden Rechnungen stammen von Marx. Bei Feller/Odermann, S. 138, ist nur das Resultat angegeben und darauf hingewiesen, dass die Gleichungen schon in den anderen Aufgaben vorgekommen seien.
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x £ = 1 Stück (in England)
x £ = 1 St. x =  3264×4 144×32×27×25 3264 8×27×25×144 = 408 27×25×144 = 102 27×25×36 = 51 18×25×27
144 = 1 Gross 144 = 1 Gross
32 = 13014/25 Th. (Leipzig) 32 = 3264 Th.
63/4 = 1£ 27 = 1£

Sobald Procente, z.B. Spesen, in der Aufgabe vorkommen, hat man zu fragen ob mit diesen Procenten eine Vermehrung od. eine Verminderung des Resultats beabsichtigt wird. Im erstren Fall müssen die Procente steigend (z.B. 100 = 110), im leztren fallend (z.B. 100 = 90) berechnet werden.

Ist die Fragezahl ein bereits um die Procente vermehrter Werth, u. sucht man ein von diesem Procentwerth befreites Resultat, so 110 = 100.

Ist die Fragezahl ein bereits um die Prozente verkürzter Werth, u. sucht man den vor der Kürzung vorhandnen Werth, so 90 = 100.

Sind verschiedne Procente zur Einrechnung gegeben, so nur dann in Einen Posten zusammenzufassen, wenn sie sich sämmtlich auf Einen u. denselben Werth beziehn. Ebenso wenig dürfen einzelne Procentsätze, die theils vermehrend, theils vermindernd auf das Resultat einwirkend, durch Addition od. Subtraction verbunden werden (wie 5% dazu, 3% ab = 2%), ausser wenn sie sich sämmtlich auf Einen und denselben Werth beziehn.

Reihenfolge der Procente im Kettensatz ist gleichgültig. Doch Irrthum mehr vermieden im Aufstellen der Procentsätze, wenn man sie in der Reihenfolge einbringt, welche sich aus der Art der Procente ergiebt.  Bemerkung von Marx.
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(Verte)
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121

1) Wie hoch kommen in Köln, ohne Transportspesen, brutto 7500 K° franz. Terpentinöl von Rotterdam zu stehn, wenn an diesem Platz 11/2% Ausschlag, 1% Gutgewicht, u. 22% Tara vergütet werden, wenn der Preis 23f. pr 50 Ko. netto, mit 1% Discont ist, die Platzspesen sich auf 11/4% belaufen, u. eine Kommission von 11/2% berechnet wird; wenn ferner 250fl. holl. = 1421/2 Th.

x Th. = 7500 K° brutto. x Th. = 7500 K° b. x =  7500×197×99×78×23×99×405×203×285 100×100×100×50×100×100×100×250×2×4×2×2
= 1521 Th. 24 Sgr.
100 = 981/2 K° nach Abzug des Ausschlags. 100 = 197 K°
100 = 99 K° nach Abzug des Gutgewicht. 100 = 99 K°
100 = 78 K° nach Abzug der Tara. 100 = 78 K°
50 K. = 23fl. holl. 50 = 23f.
100 = 99fl. nach Abzug von 1% Discont. 100 = 99.
100 = 1011/4fl. mit Zurechnung der Platzspesen. 100 = 405f.
100 = 1011/2 mit Zurechnung der Kommission. 100 = 203f.
250 = 1421/2 Th. 250 = 285 Th.

Die Gewichtsabzüge von 11/2, 1 u. 22% durften nicht in 241/2% zusammenaddirt werden, da nach dem Platzgebrauch gemäß Gutgewicht von dem nach Abzug des Ausschlags verbleibenden Gewicht, u. von diesem die Tara abgerechnet wird. Die Procentsätze 11/4 u. 11/2% vermehrend u. 1% vermindert durften nicht in 100 = 1013/4 zusammengefasst werden, da sie sich nicht auf denselben Werth beziehn. Der Abzug von 1% erfolgt vom Betrag der Waare à 23fl. Auf den hiedurch erhaltnen Reste beziehn sich die Platzspesen; die Provision aber wird von dem um diese Spesen vermehrten Betrage genommen.

2) Welchen reinen Ertrag in türk. Piastern bringen netto 500 Rottoli persische Seide, in Marseille mit 16 fcs pr 1/2K° u. 1% Discont verkauft? Die Spesen betragen 5%. 100 Rottoli = 44 Okka à 400 Drachmen; 32 Teffé à 610 Drachmen = 61 Ko; 1 fcs = 180 Para. 40 Para = 1 Piaster.

x P. = 500 Rottoli
100 = 44 Okka. x =  500×44×400×61×16×99×95×180×2 100×610×32×100×100×40
11×99×19×18 10 ( 11×99×19×9 5 )
x = 37,243 Piaster, 32 Para.
1 = 400 Drachmen.
610 = 1 Teffe.
32 = 61 Ko.
1/2 = 16 Fcs. Verkaufspreiß.
100 = 99 fcs (Verminderung durch 1% Discont)
100 = 95 fcs. (Verminderung durch Verkaufsspesen)
1 = 180 Para
40 = 1 P. (Piaster)

3) 1260lb einer Waare kosteten mit 121/2% Spesen 2481/16 Th.; wieviel hat 1 Pf. in Hamburger Corant Sh. gekostet, wovon 40 = 1 Rth.?

x β = 1lb. x = 3969×100×40 1260×225×8 =7β.
1260 = 2481/16 Th. mit Spesen von 121/2%.
1121/2 = 100 Th. ohne Spesen.
1 = 40β.

4) In Berlin berechnete man 400lb (neues Gewicht) einer Waare, die in Hâvre mit 21/2% Discont gekauft worden war, ohne Rücksicht auf Spesen mit 109 Th. 6 sgr.; wie viel kostete ursprünglich das 1/2 Ko in Hâvre, den fc zu 8 sgr. gerechnet. (50 K° = 100lb.)

x fcs = 1/2 Ko. x =  100×109×30×100 50×400×8×195
109/104, about 1,05 fcs.
50 Ko = 100lb.
400 = 109 Th. 6 sgr. nach Abzug von 21/2%.
1 = 30 Sgr.
8S. = 1f.
971/2 = 100 fcs. vor Abzug von 21/2%.

 Feller/Odermann, S. 144.
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Gesellschaftsrechnung. (Vertheilungs- oder Repartitionsrechnung)

 Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Alles beruht auf dem Satz: Gesezt S sei die Summe der Verhältnißzahlen a, b, c; die zu vertheilende Grösse sei R. S.:

S : a = R : Antheil des A (von R.)
b Antheil des B
c Antheil des C

Oder: Die Summe der Verhältnißzahlen verhält sich zu jeder einzelnen Verhältnißzahl, wie die zu vertheilende Grösse zu jedem einzelnen Antheil.

Oder: Wenn auf die Summe der Verhältnißzahlen die ganze zu vertheilende Grösse kommt, wie viel kommt auf jede einzelne Verhältnißzahl?

Z.B. 320 Th. sind in 3 Theile zu theilen nach dem Verhältniß 4, 7, 9 od. wenn A. 4 Th. bekommt, bekommt B. 7 u. C. 9. Wie viel kommt auf Jedes Antheil?

Summe der Verhältnißzahlen = 4 + 7 + 9 = 20.
Ganzes der zu vertheilenden Grösse = 320 Th.
hence: 20 : 4 = 320 : x = 64
20 : 7 = 320 : x = 112
20 : 9 = 320 : x = 144
320 Th.

In diesem Fall 320/20 od. Zu vertheilende Grösse Summe d. Verhältnißzahl. = 16. Multiplicirt man diesen Quotient respective mit 4, 7, 9, so erhält man do. 64, 144, 320.

Auch läßt sich jede Verhältnißzahl als ein Bruch ansehn, dessen Zähler die Verhältnißzahl selbst ist u. dessen Nenner aus der Summe der Verhältnißzahlen besteht. Mit jedem dieser Brüche multiplicirt man dann die zu theilende Grösse; die daraus sich ergebenden Producte bilden die einzelnen Antheile.

Z.B. der Antheil des A im obigen Fall 4/20, des B 7/20, des C: 9/20 u. A = 320 × 4/20 = 64, B = 320 × 7/20 = 112 u.s.w.

Es seien 2000 Th. Gewinn nach 5 Kapitaleinlagen von 1200, 1500, 2100, 3000 u. 2700 zu theilen. Man kann d’abord jede dieser Verhältnißzahlen dividiren durch 300 u. man erhält 4, 5, 7, 10 u. 9, deren Summe = 35. Dann berechnet man: A kriegt 4/35 × 2000 = 228 Th 4/7 etc etc.|

122

Die Verhältnisse der Theilung können auch in Brüchen ausgedrückt sein.

Entweder wird durch die gegebnen Brüche geradezu ausgedrückt, der wievielste Theil od. welcher Bruch des Ganzen auf jeden einzelnen Antheil kommen soll;

Oder diese Brüche drücken also wie ganze Zahlen, nur das Verhältniß aus, in welchem die einzelnen Antheile unter sich stehn

Z.B. Es sind 180 Th. so zu theilen, daß A 1/3, B 1/4 u. C den Rest der Summe erhalten soll?

A) 1/3 × 180 Th. = 60 Th.
B) 1/4 × 180 = 45
Beide zusammen: 105 Th.
Bleiben für C 75 Th.
Summe: 180 Th.

Oder aber: Es sind 1320 Th. unter 4 Personen so zu theilen, daß A 1/4, B 2/3, C 1/2 u. D 5/12 erhält;  Anmerkung von Marx.
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d.h. daß dieß nicht die Brüche des Ganzen, sondern die Verhältnißausdrücke sind, in welchen die einzelnen Theile unter sich stehn
, so daß also B ebenso oft 2/3 als A 1/4 erhält u.s.w.

Wie man vorhin die Verhältnißzahlen durch dieselbe Zahl dividirte, so kann man, wenn die Verhältnißzahlen Brüche, sie durch Multiplication der möglichst kleinen Zahl in Ganze verwandeln.

Z.B. 1/4, 2/3, 1/2, 5/12. Multiplicirt man sie alle × 12, so erhält man 3, 8, 6, 5. u. die Summe dieser Verhältnißzahlen = 22. (1/4 : 2/3 = 3 : 8 u.s.w. u.s.w.)

Die zu vertheilende Grösse =1320; die Summe der Verhältnißzahlen = 22. Also ein Theil = 1320/22 (auf 22 Th. kommen 1320) = 660/11 = 60; Also A = 60 × 3 = 180, B = 60 × 8 = 480, C = 60 × 6 = 360 u. D = 60 × 5 = 300  =1320.

Beispiel. In einem Dorf haben 4 Hausbesitzer durch eine Feuersbrunst an ihrem Eigenthum verloren, A. 640 Th., B. 520, C. 800, D. Alles. Wenn nun für diese 4 Personen 987 Th. 14 Gr. milde Beiträge eingegangen sind, wie sind sie zu vertheilen, da ihr Eigenthum taxirt ist wie folgt: A.) 2000 Th., B.) 1800 Th., C) 2400 Th. u. D) 1200 Th.?

Es ist zu  Feller/Odermann: ermitteln
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vermitteln
, welchen Theil seines Eigenthums jeder verloren hat.

Verlust des Eigenthums (Verhältniß): A.) 640/20008/25; B.) 520/180013/45; C.) 800/24001/3; D = 1200/1200 = 1.

 Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Die Verhältnißzahlen also, worin diese Burschen verloren haben, u. worin ihr Antheil an der „milden Gabe“ zu berechnen, sind
8/25, 13/45, 1/3 u. 1. Multiplicirt man, um ganze Zahlen zu erhalten, mit 225, so erhält man: 72, 65, 75, 225. = Summe von 437. Es erhält also A) 72/437 (987 Th. 14 Gr.), B: 65/437, C) 75/437 u. D) 225/437.

Oft sind die Verhältnisszahlen nicht gradezu, sondern durch Zwischenverhältnisse ausgedrückt; dann müssen sie erst durch besondre Rechnung gefunden werden. Hierbei ist zu unterscheiden, ob diese Zwischenverhältnisse sich alle auf Eine Grösse beziehn, oder ob dieß nicht der Fall ist.

Erster Fall: 2127f. sind unter 5 Personen so zu theilen, daß sich A : B = 4 : 5, A : C = 3 : 4, A : D = 5 : 6 u. A : E = 8 : 9 verhält.

Wenn A 4 erhält, erhält B 5; Wenn A daher 1, B 5/4; Wenn A 1, C 4/3, D 6/5 u. E 8/9. 1, 5/4, 4/3, 6/5 u. 8/9 sind also die Verhältnißzahlen. Um sie in ganze Zahlen zu verwandeln, multiplicirt man sie mit 120. Dieß giebt für A: 120, B 150, C 160, D 144, E, 135. Summe der Verhältnißzahlen = 709.

2127/709 = 3. Von den 709 Theilen, woraus 2127 besteht, daher jeder = 3.
Also: A = 3 × 120 = 360. C = 3 × 160 = 480.
B = 3 × 150 = 450. D = 3 × 144 = 432 u. E. = 3 × 135 = 405
Summe = 2127f.

Zweiter Fall: 19406 Th. sind in 6 Theile zu theilen, so daß sich Theil A zu B = 3 : 5, B : C = 4 : 5, A : D = 6 : 7, E : C = 3/4: 2, D : F. F = 31/4: 3 verhält.

A : B = 3 : 5. Folglich A = 1, B = 5/3. B = 5/3. C = 25/12. D = 7/6. E = 25/32. F = 14/13.
E : C = 3/4: 2; folglich E = 3/8C = 3/8×25/1225/8×4 = 25/32. Endlich D : F = 13/4: 3 = 13 : 12 = 1: 12/13.
Also, da D : F = 1 : 12/13, F = 12/13 D = 12/13×7/62×7/1314/13.

Diese 6 Verhältnißzahlen A–F × mit 1248 = 1248, 2080, 2600, 1456, 975 u. 1344. Summe = 9703.

19406 9703 = 2.  Anmerkung von Marx.
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Dieß ist also der Constante Theil, der mit den verschiednen Verhältnißzahlen jezt zu multipliciren ist.

A = 1248 × 2 = 2496, B. = 2080 × 2 = 4160, u.s.w. u.s.w.

In den bisher behandelten Fällen drückten die gegebnen od. aufzufindenden Verhältnißzahlen das Verhältniß der Theilung direkt aus; d.h. je grösser die Verhältnißzahl ist, die einen einzelnen Antheil bestimmt, desto grösser dieser Antheil, u. umgekehrt.

Die Theilung kann aber in indirektem Verhältniß standen statt finden, so daß je grösser die Verhältnißzahl, desto kleiner der Antheil, u. umgekehrt.

Beispiel: Jemand bestimmt 1000 Th. zur Vertheilung an 3 Personen, nach Verhältniß ihres Alters, so daß je jünger der Empfänger, desto grösser der Antheil sein soll.

Nun ist A 35, B 20 u. C 25 Jahre alt.

B. als der jüngste hat den größten Antheil. Setzen wir ihn gleich 1, so hat zu erhalten:

A. 35 : 20 = 1 : x 20/354/7
B. C. 25 : 20 = 1 : x 20/254/5

Multipliciren wir 4/7, 1, 4/5 mit 35, so = 20, 35 u. 28. Summe = 83.

Also. A = 20/83 × 1000 = 24080/83
B = 35/83 × 1000 = 42157/83.
C = 28/83 × 1000 = 33729/83
Th. 1000|

123

Endlich kann das Verhältniß der übrigen Theile zu einem derjenigen Theile, dessen Grösse die Aufgabe nicht bestimmt, gegeben sein;

oder: dem einen od. dem andren Theil kommt neben dem, was ihm nach seiner Verhältnißzahl zukommt, noch ein Plus od. Minus zu;

oder endlich: die Vertheilung soll so erfolgen, daß der Folge Folgende immer ein Gewisses mehr erhält als der Vorhergehende.

Erster Fall: 440 Fs. sollen unter 4 Personen so vertheilt werden, daß A 11/3× so viel als B, B 2 × so viel als D u. C 1/5 des Antheils von D erhält.

D = 1. B = 2D = 2. C = 1/5D = 1/5. A = 11/3B = 4/3B = 4/3 × 2 = 8/3.

Also A = 8/3 ×15, um Ganze Zahl zu bekommen = 40 Summe = 88. Die Gesammtzahl. 440/88 = 5. Oder 1/88 Theil der Gesammtzahl = 5. Hence  Diese Spalte von Marx selbst berechnet. Siehe Feller/Odermann, S. 148.
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A = 5 × 40 = 200
B = 2 30 B = 5 × 30 = 150
C = 1/5 3 C = 5 × 3 = 15
D = 1 15 D = 5 × 15 = 75

Hätte man für D = 1  Das Beispiel ist bei Feller/Odermann, S. 148, die Zahl 6, woran sich Marx auch in der nachfolgenden Rechnung hält, die zum großen Teil von ihm selbst stammt.
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eine andre Zahl
gesezt, so hätte man erhalten:

A = 8×6/3. = 16. A = 16 × 5 = A = 80 Summe = 176. 440/176 =21/2 A = 5×80/2 = 5 × 40 = 200
B = 2×6 = 12. B = 12 B = 60 B = 5×60/2 = 5 × 30 = 150 u.
C = 1/5× 6 = 6/5. C = 6/5 C = 6 C = 5/2× 6 = 15.
D = 6. D = 6. D = 30 D = 5/2× 30 = 75.

Also dasselbe Resultat wie vorher.

Zweiter Fall. 2900 Thl. unter 4 Erbinteressenten zu gleichen Theilen zu vertheilen, doch so, daß B 300 Th. mehr, C 400 Th. mehr, D. 200 Th. weniger erhalten als ihre verhältnißmässigen Antheile betragen.

 Zusatz von Marx.
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⦗Algebraisch: A = x. B = x + 300. C = x + 400. D = x – 200. Hence 4x + 700 – 200 = 2900. Hence 4x = 2400 u. x = 600.⦘

Da B u. C zusammen 700 mehr, D aber 200 weniger als verhältnißmässigen Antheil bekommen, so kommen nur 2900 – 500 (700 – 200 = 500), also nur 2400 zur Vertheilung; wovon 1/4 = 600. Also erhält etc.

Oder: 4 Theile + 500 Th. = 2900 Th. Also 4 Th. = 2900 – 500 od. = 2400 Th. Also 1 Th. = 2400/4 = 600 Th. Also A = 1 × 600 = 600 Th. B = 600 + 300 = 900. C = 600 + 400 = 1000. D = 600 – 200 = 400 Th.

Dritter Fall: 1000 Th. sollen unter 5 Personen so vertheilt werden, daß jede immer 20 Th. mehr erhält als die vorhergehende.

5 Theile + 20 + 40 + 60 + 80 Th. od. 5 Th. + 200 Th = 1000. ∴ 5 Th = 2000 1000 Th – 200 = 800. 800 = 160 Th. 1 Th = 160 Th.

Es erhält also: A = 160. B = 180. C = 200. D = 220 u. E. = 240 Th. 5 Zusammen = 100 1000.

 Feller/Odermann, S. 149.
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Zusammengesetzte Gesellschaftsrechnung.

Aufgaben, worin auf die gegebnen Verhältnisse noch gewisse Nebenbestimmungen einwirken. Witz besteht darin, diese so zu entfernen, daß die Lösung mit den Mitteln der einfachen Gesellschaftsrechnung zu bewirken.

1. Fall. Eine Arbeit durch 94 Arbeiter in 3 Abtheilungen zu 24, 40 u. 30 Mann für die Accordsumme von 422 Th. übernommen. 1 Abtheilung arbeitet 14, 2te 12, 3te 15 Tage, wie viel erhält jede?

Unter sonst gleichen Umständen vorausgesezt, daß 5 Arbeiter z.B. in 8 Tagen so viel arbeiten als 5 × 8 od. 40 Arbeiter in 1 Tag od. 1 Arbeiter in 40 Tagen, so darf man in obigem Fall, die Anzahl der Arbeiter für resp. 14, 12, 15 Tage nur auf solche für 1 Tage od. die Anzahl der Tage für 24, 40, u. 30 M. nur auf eine solche für 1 Mann zurückführen. Beides geschieht durch Multiplication der Anzahl der Arbeiter mit der Zahl der Tage, u. die dadurch erhaltnen Producte sind die Verhältnißzahlen. Man erhält:

24 × 14 = 336. Also: A: 1266 : 336 = 422 : x. x = 112 Th.
40 × 12 = 480 B: 1266 : 480 = 422 : x. x = 160  Marx läßt damit C aus.
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u.s.w.
30 × 15 = 450
1266.

2 Fall: Es sollen, in möglichst kurzer Zeit, 2000 Scheffel Korn auf 4 Mühlen gemahlen werden, von denen A in 4 Stunden 15 Scheffel, B in 3 Stunden 16 Scheffel, C in 3 Stunden 10 Scheffel, D in 2 Stunden 9 Scheffel mahlt. Wie viel Scheffel sind jeder dieser Mühlen zuzutheilen, damit sie gleichzeitig fertig werden?

Diese Aufgabe läßt sich doppelt lösen.

1) Man fragt: Wie viel Scheffel mahlt jede Mühle in 1 Stunde? oder:

2) Wie viel Stunden braucht jede Mühle, um 1 Scheffel zu mahlen?

ad 1) A) mahlt in 4 St. 15 St Scheffel; in 1 Stunde 15/4 Scheffel. Ditto B in 1 St. 16/3 Scheffel, C) in 1 St. 10/3 Sch. u. D. 9/2 Sch. Also:

A. in 1 St. 15/4 Sch. durch Multiplication × 12 A in 1 St. = 45 Sch. Summe = 203.
B. 16/3 B = 64
C. 10/3 C = 40
D. 9/2 D = 54

Demnach auszutheilen:

  • an A = 2000 × 45/203 = 44371/203 Sch. = 4433/8 Sch.
  • an B = 2000 × 64/203 = 6301/2
  • an C = 2000 × 40/203 = 3941/8.
  • an D) = 2000 × 54/203 = 532 Sch.
  • Summe 2000 Schfl.

ad 2) Ebenso leicht A 4/15, B 3/16, C 3/10 u. D 2/9 Stunden zu ein Scheffel.

Multiplicirt man diese Brüche mit 720, so erhält man 192, 135, 216, 160.

Es bedeuten diese Zahlen, daß wenn A 192 St. nöthig hat, B 135, C 216 u. D 160 nöthig hat.

Theilt man nun A 1 Schfl zu, so B (135 : 192 = 1 : x) = 64/45, C) weniger (216 : 192 = 1 : x) = 8/9 u. D (160 : 192 = 1 : x) 6/5.

Diese Verhältnißzahlen 1, 64/45, 8/9 u. 6/5 mit 45 multiplicirt gegeben ergeben 45, 64, 40 u. 54. Wie oben.

 Feller/Odermann, S. 153.
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Alligationsrechnung.

1) Entweder will man den Werth od. die Einheit einer Mischung finden, die aus gegebnen Theilen von ungleichem Werth od. ungleicher Qualität hergestellt wird – den Durchschnitts- od. Mittelwerth; dieß ist Durchschnittsrechnung.

2) Oder man will wissen, in welchem Verhältniß gegwisse gewisse gegebne Qualitäten gemengt werden müssen, damit die Einheit des Gemischs einen gleichfalls gegebnen Mittelwerth habe.

Hier ist also der Mittelwerth schon gegeben u. es ist zu berechnen, auf welche Weise er herzustellen ist.

Ad 1) Die Summe der Werthe sämmtlicher Bestandtheile der Mischung, dividirt durch die Summe der Bestandtheile der Mischung, giebt den Durchschnittswerth.

 Marx fasst das Beispiel bei Feller/Odermann, S. 154, mit eigenen Worten zusammen und vereinfacht dazu die Zahlen.
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Z.B. Ein Land hat im 1[ t] Jahr 20, im 2t 30, im 3t 40, im 4t 10, im 5t 10 Mill. lb Thee exportirt importirt. So hat es in 5 J. importirt: 110 Mill. Thee. Also in 1 J. Durchschnitt 110/5 = 22 Mill. Man rechne ferner den Preis zusammen, den dals das lb Thee in jedem Jahr kostete, u. summire diesen Preis; die Summe sei z.B. 30 Mill. So: 30/5 = 6. Also Durchschnittswerth der jährlichen Theeeinfuhr von 22 Mill. lb war 6 Mill. lb. 6 Mill.

Beispiel, wo wirkliche Mischung. Wenn man 8 Mark B. reines Silber mit 5 Mark B. Kupfer legirt, wie fein ist dann das Silber?

8 M. Bk enthalten 8 × 16 = 128 Lth. Silber.
5 M. Bk Kupfer = 5 × 0 = 0 Lth.
13 Mk enthalten 128 Lth. Silber.
1 Mk enthält  Bruch von Marx zur Verdeutlichung des Rechenwegs ergänzt.
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128/13
= 911/13 Lth.

Einfacher ist die Rechnung, wenn die Mengen der zu mischenden Bestandtheile gleich sind. Dann kommen nur die Qualitäten od. Werthe in Betracht; deren Summe, dividirt durch die Anzahl der gemischten Qualitäten, den Durchschnittswerth giebt.

Z.B. man mischt 1Lb à 9 Gr., 1lb à 12 Gr, 1lb à 15 Sgr., 1lb à 20 Gr.

Hier Durchschnittswerth = 9+12+15+20 4 (Anzahl d. Sorten) = 14 Sgr. Also Durchschnittswerth des lb = 14 Sgr.

Falsch bei Aufsuchung eines Durchschnittswerths an die Stelle der Werthe die für die Wertheinheit gegebnen Quantitäten zu setzen.

Z.B. Wenn Jemand von einer Waare 12 Stück für 1 Gulden, u. von einer andren Qualität 18 Stück für einen Gulden, verkauft er von jeder Sorte |124 360 Stück, so erhält er 20 + 30 = 50fl.

Wollte er aber 12+18/2 = 2 Stück für 1 Gulden geben, so würde er für die 720 Stück nur 48fl. lösen.

Die richtige Rechnung: 12 Stück für 1f., 1 Stück für 1/12f., u. 18 St. für 1f., od. 1 Stück für 1/18f. Also per Stück im Durchschnitt (1/12)+(1/18) 2 = 5 12 f. Dieß × mit 720 = 50f.



ad 2.) Zweiter Fall: Sind zur Auffindung einer gewissen Qualität nur Zwei Qualitäten zur Mischung gegeben, so muß nothwendig die eine besser, die andre schlechter sein, als die gesuchte Qualität. Wenn nun die gesuchte Mittelsorte von der bessern u. von der geringern gegebnen Sorte gleich weit entfernt ist, so hat man von den beiden gegebnen Sorten gleich viel zu nehmen.

Z.B. Aus zwei Sorten à 14 u. à 22 Gr. ist eine Mittelsorte à 18 herzustellen.

Die geringre Sorte – 14 – ist um 4 geringer, die bessre Sorte – 22, um 4 besser, als die gesuchte Mittelsorte.

Plus u. minus heben sich auf beiden Seiten auf, u. die Mischung ist zu gleichen Theilen vorzunehmen.

Z.B.

2lb. à 14 gr. = 28 gr.
2 à 22 = 44
4lb à 72 gr.
1lb kostet also 18 gr.  Zusatz von Marx.
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⦗Einfacher: (18 – 4) (= 14) + (18 + 4) (= 22) = 18 – 4 + 18 + 4 = 36. 2lb = 2 × 18 = 36. 1lb. = 36/2 = 18.

Ist das Plus dem Minus nicht gleich, so: Je mehr od. weniger die Qualität od. der Werth der bessern Sorte die Qualität oder den Werth der Mittelsorte übersteigt, desto mehr oder desto weniger ist von der geringern Sorte in die Mischung aufzunehmen. Demnach giebt die Differenz zwischen der bessern u. der Mittelsorte, an, wie viel Theile von der geringern Sorte zu nehmen sind.

Z.B. Aus 2 Sorten à 14 u. à  Feller/Odermann, S. 155: 22
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30
Groschen sei eine Mittelsorte von 18 Gr. pr lb herzustellen.

Umgekehrt: Je weniger od. je mehr die Qualität od. der Werth der geringern Sorte hinter dem Werth od. der Qualität der Mittelsorte zurücksteht, desto weniger od. desto mehr ist von der bessern Sorte in die Mischung aufzunehmen.

Demnach giebt die Differenz zwischen der bessern u. der Mittelsorte an, wie viel Theile von der geringern Sorte zu nehmen sind, während die Differenz zwischen der geringern u. der Mittelsorte die Anzahl der Theile ausdrückt, welche man von der bessern Sorte zu nehmen hat.

Die Summe dieser Differenzen bezeichnet daher die Anzahl der Theile, aus denen das Ganze zusammengesezt ist.

1 Beispiel. Man will durch Mischung von Wein à 24 Gr. u. à 11 Gr. eine Sorte zu 15 Gr. finden. Wie viel muß man von beiden nehmen:

24 Gr. 4 (Differenz zwischen 11 u. 15
15
11 9 (Differenz zwischen 24 u. 15)
13

Das Ganze besteht demnach aus 13 Theilen. Es müssen also 4/13 von der Sorte à 24 Sgr. u. 9/13 von der Sorte à 11 Sgr. genommen werden.

Gesezt man braucht 390 Flaschen à 15 Sgr., so müssen genommen werden:

4/13 × 390 = 120 Flaschen. à 24 Sgr. = 2880 Sgr.
9/13 × 390 = 270 Flaschen à 11 Sgr. = 2970
390 = 5850 Sgr. Dann kostet eine Flasche 15 Sgr.

2. Beispiel. In welchem Verhältniß müssen 2 Goldsorten à 18 Karath 5 Grän u. à 9 Karath 4 Grän gemischt werden, wenn 131/2 karäthiges Gold entstehn soll?

185/12 221 50 (Differenz von 112 u. 162)
131/2 od. 162
 Feller/Odermann, S. 156: 1/3
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91/13
112 59 (Differenz zwischen 221 u. 162)
109

Braucht man nun z.B. 109 Loth Gold à 131/2 Karath, so muß man zu 50 Loth à 18 Kar. 5 Gr. noch 59 Loth à 9 Kar. 4 Gr. mischen, denn:

50 Loth à 18.5 enthalten 920 Kar. 10 Gr.
59 à 9.4 550 8
109 Loth enthalten 1471. 6. Also 1 Loth 13 Kar. 6. Gr.

Wenn mehr als 2 Sorten gegeben sind, aus welchen die verlangte Sorte gemischt werden soll, so mischt man je zwei Sorten mit einander.

Gesetzt, man solle aus 4 Sorten Wein à 16, 14, 11 u. 5 Sgr. eine Sorte zu 12 herstellen, so verfahre man, wie folgt:

16b 7 (Differenz von 5 u. 12) Die beigesetzten Buchstaben a, b, bezeichnen wie die Mischung erfolgt ist. Zuerst ist 14 mit 11 gemischt worden: 1 Theil à 14 Gr. = 14 Sgr. 2 ­. à 11 = 22 Sgr. | also 3 Theile = 36 Sgr. u. 1 Th. = 12 Sgr. Sodann ist 16 mit 5 verbunden: 7 Th. à 16 Sgr. = 112 Sgr. 4 à 5 = 22 | also 11 Theile = 132 Sgr. 1 Theil = 12 Sgr.
14a 1 (Differenz von 11 u. 12)
12
11a 2 (Differenz von 14 u. 12)
5b 4 (Differenz von 16 u. 12)

Giebt jede einzelne Mischung die gewünschte Sorte à 12 Sgr., so müssen beide vereinigt dieselbe Sorte geben. Summe der Theile hier 11 + 3 = 14.

Eine andre Mischung ist:

16b 1 (Differenz zwischen 11 u. 12) Hier ist zuerst 14 mit 5 gemischt: 7 Theile à 14 gr. = 98 sgr. 2 Theile à 5 = 10 | also 9 Th. = 108 sgr. 1 Th. = 12. Ferner: 16 mit 11.: 1 Th. à 16 S. = 16 Sg. 4 Th. à 11= 44 | also 5 Theile = 60 Sgr. 1 Theil = 12 Sgr. In beiden Fällen muß die Mischung aus 15 Theilen bestehn u. es sind von der zu mischenden Quantität. Im ersten Fall: 7/14 à 16 Gr; 1/14 à 14 Sgr; 2/14 à 11 Sgr; 4/14 à 5 Sgr. Im zweiten Fall: 1/14 à 16 Gr; 7/14 à 14 Sgr; 4/14 à 11 Sgr; 2/14 à 5 Sgr.
14a 7 (Differenz zwischen 5 u. 12)
12
11b 4 (Differenz zw. 16 u. 12)
5a 2 (Differenz zwischen 14 u. 12)

Ist die verlangte Sorte nicht eine solche, die ebenso viel beßre über sich, als geringre unter sich hat, so müssen die Sorten, die auf der einen Seite überzählig sind, mit den Sorten, die sich auf der entgegengesetzten Seite befinden, nochmals verbunden werden.

Man soll z.B. aus 5 Qualitäten à 24, 20, 14, 9 u. 5xr eine neue à 16xr mischen:

24a+c 7 + 11 (Differenz zwischen 9 u. 16 u. zwischen 5 u. 16) = 18 Theile à 24xr = 432xr.
20b 2 (Differenz zwischen 14 u. 16) = 2 à 20 = 40
16
14b 4 (Differenz zwischen 20 u. 16) = 4 14 = 56
9a 8 (Differenzen 24 u. 16) = 8 9 = 72
5c 8 (Differenz zwischen 24 u. 16) = 8 5 = 40
40 Th = 640xr. 1 Th. = 16xr

Da für 3 geringere Sorten nur 2 bessere zur Mischung gegeben waren, so musste mit der 3ten geringern Sorte noch eine der beiden bessern Sorten, obgleich beide bereits in die Mischung aufgenommen waren, verbunden werden. Dazu Sorte à 24xr gewählt; hätte auch die à 20xr gewählt werden können.|

125

Sobald für eine od. mehrere der gegebnen Sorten eine gewisse Quantität gegeben ist, die durchaus in die Mischung od. Mengung aufgenommen werden soll, so müssen sich natürlich die andern  Feller/Odermann, S. 158: Qualitäten.
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Quantitäten
in Bezug auf die von ihnen zu nehmende Menge danach richten.

Beispiel: Man besitzt 5 Mb. 18 karäthiges Gold; wie viel 12 karäthiges muß zugemischt werden, wenn 14 karäthiges daraus entstehn soll?

18 2
14 6 Theile. 2/61/3
12 4 4/6 = 2/3.
Da nun 5 M.B. à 18 Karath (= 1/3) in die Mischung aufgenommen werden sollen, so das Doppelte (2/3) also 10 M.B. aus 12 Karath zuzusetzen.

Man verlangt ferner eine gewisse Menge von einer gewissen Qualität, u. will dazu eine od. mehrere bestimmte Quantitäten u. Qualitäten verwenden. Wie muß nun die Qualität der Beimischung beschaffen sein?

Z.B.: Man braucht 10 M.B. 12 löthigen Silbers. Wieviel löthig muß das Silber sein, das zu 4 Mark Bk. 15 löthigem beigemischt, die verlangte Qualität giebt?

Man braucht 10 Mark Banco 12 löthiges Silber enthaltend = 120 Loth. Vorhanden sind 4 M. Banco 15 löthiges = 60 Loth.

Es fehlen also 6 Marc B., welche enthalten müssen 60 Loth. 1 Marc Banco also = 10 Loth.

Zu den vorhandnen 4 M.B. 15 löthigen Silbers müssen also 6 Mk. B. 10 löthiges gemischt werden.

4 Mark Banco 15 löthiges enthalten 60 Loth.
6 10 60
10 120 u. 1 Mark also 12 Loth.


 Feller/Odermann, S. 162.
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Procentrechnung.

100 als Maaßstab für arithmetische Verhältnisse. Es handelt sich um die Procentrechnung: 1) Aufsuchung der von einem gegebnen Werth nach Maaßstab eines bestimmten Procentsatzes zu nehmenden Procente, ohne Rücksicht darauf, wie sie sich auf den Werth, auf den sie sich beziehn, etwa einwirken. 2) Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentfuß veränderten Werths, bestehe die Veränderung in Vermehrung od. Verminderung des gegebnen Werths. 3) Aufsuchung des Werths, von welchem gewisse Procente berechnet worden sind. 4) Aufsuchung des Procentfusses.

Der Werth, oder das Kapital, von welchem Procente gerechnet werden sollen, entspricht jedoch nicht immer vollkommen der Normalzahl 100.

Z.B. Jemand sagt: Eine Waare kostet mit Inbegriff von 10% Unkosten 51/2 Th. So entsprechen diese 51/2 Th. nicht dem Maaßstab 100, weil die 10% ursprünglich auf kleinren Werth als 51/2 Th. berechnet, auf einen Geldwerth, ehe man diese 10% Unkosten hinzurechnete. Solche Werthe wie diese 51/2 Th. können ein um die Procente vermehrtes Kapital heissen.

Ein andrer sagt: Ich habe diese Waare, nach Abzug von 2% für baare Zahlung, mit 4f. 30xr bezahlt. Diese 4f. xr entsprechen dem Maaßstab 100 nicht. Die 2% sind auf einen Werth berechnet, der vorhanden war, bevor die 2% abgezogen wurden. Daher können die 4f. 30xr ein um die Procente vermindertes Kapital heissen.

Es fragt sich also stets, ob der gegebne oder zu suchende Werth rein, vermehrt, oder vermindert ist.

Dieser dreifachen Beschaffenheit des gegebnen od. zu suchenden Werths entsprechen 3 Procentsätze, vom Hundert, auf Hundert, im Hundert.

Procente vom 100: 100 = 3. Procente auf 100: 103 = 3. Procente im Hundert: 97 = 3.

I)  Feller/Odermann, S. 164.
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Aufsuchung der Procente allein.

a) Der reine Werth ist gegeben. (Procente vom 100.)

Wieviel betragen 4% von 1975 Th. u. 6% von 1812f.?

100 : 1975 = 4 : x 100 : 1812 = 6 : x
x = 79 Th. x = 108,72f.

b) Der vermehrte Werth ist gegeben. (Procente auf 100)

Wenn 1545 Th. eine Vermehrung von 3%, u. 1920f. 72 cts. eine Vermehrung eine von 6% einschliessen, wieviel beträgt diese Vermehrung, od. die Procente auf 100 von diesen Kapitalien?

103 : 1545 = 3 : x 106 : 1920,72 = 6 : x
x = 45 Th.  Anmerkung von Marx.
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Es stecken in den 1545 Th. 45 Th. Pr. Cent.
x = 108,72 fcs.

Alle Procentsätze vom hundert, die einen bequemen Theil von 100 geben, bilden auch einen Theil auf 100 + dem Procentsatz, wenn sie als Procente auf 100 benuzt werden. Man findet diesen Theil, wenn man zu dem Nenner des Bruchtheils, den der Procentsatz vom 100 bildet, den Zähler desselben Bruchs addirt.

Z.B. 61/4% vom 100 = 1/16; ist auf 100 = 1/16+11/17. 371/2 vom 100 = 3/8; auf Hundert = 3/8+33/11.

c) Der verminderte Werth ist gegeben. (Procente im 100.)

Wenn ein Werth durch Abrechnung von 3% auf 582 Th., u. ein andrer durch Abrechnung von 31/2% auf 239 Fcs. 32 cts. vermindert worden, wie viel diese Verminderung? od. wieviel von diesen Werthen die Procente im 100?

97 : 582 = 3 : x 961/2: 239,32 = 31/2: x
x = 18 Th. x = 8,68 Fcs.

Alle Procentsätze, die vom u. auf 100 einen bequemen Theil aus dem Capital bilden, können auf dieselbe Weise als Procente im 100 benutzt werden. Man findet diesen Theil, wenn man von dem Nenner des Bruchs, den sie vom 100 bilden, den Zähler desselben Bruchs abzieht.

Z.B. 81/3% vom 100 = 1/12. Dann 81/3% im 100 = 1/12–11/11.



II)  Feller/Odermann, S. 169.
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Aufsuchung eines nach einem gewissen Procentsatz veränderten Werths.

Ist der zur Veränderung gegebne Werth rein, dann wird er nach dem gegebnen Procentsatz vom 100 vermehrt od. vermindert.

Schließt der Werth die Vermehrung nach dem gegebnen Procentsatz bereits ein, so soll er auf seinen ursprünglichen Werth reducirt, also nach dem gegebnen Procentsatz (auf 100) vermindert werden.

Ist der gegebne Werth nach dem gegebnen Procentsatz vermindert, so soll er auf seinen ursprünglichen Werth reducirt, also nach demselben Procentsatz (im 100) vermehrt werden.

a) Der reine Werth ist gegeben.

Wieviel betragen 978 Th., um 3% vermehrt od. vermindert?

978 978
+29,34 = 3% = 1007,34 Th. (10 Sgr.) –29,34 = 3% = 948,66 Th. (20 Sgr.)

b) Der vermehrte Werth ist gegeben.

Wie groß waren 1) 2054 Th. und 2) 1925£ 11s., ehe sie resp. um 3% u. 371/2% vermindert wurden?

103 : 2054 = 100 : x
x = 1994 Th. 5 Sgr.

 Selbständige Anwendung einer bei Feller/Odermann, S. 171, erwähnten Regel durch Marx.
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In dem 2t Beispiel unnütz die Regel de Tri anzuwenden, weil 371/2% = 3/11 des Werths. Also:

1925£ 11s.
525. 3 = – 3/11 aus 1925£ 11s.
1400£. 8

c) Der verminderte Werth ist gegeben.

Wie groß waren 1) 582 Th., bevor sie um 3% 2) u. 16011/4 Th., bevor sie um 61/4% vermindert wurden?

1) 97 : 582 = 100 : x 2) 16011/4 Th.
x = 600 Th. 1063/4 Th. = +  Feller/Odermann, S. 172: 1/15
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1/16
(16011/4),  Zusatz von Marx, der hier fälschlicherweise Feller/Odermann korrigieren will.
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da 61/41/16
1708 Th.



III) Aufsuchung des Werths von welchem gewisse gegebne Procente gerechnet worden sind.

Neben den Procenten muß hier auch der Procentsatz gegeben sein, wonach die Berechnung der Procente erfolgt ist. Dann ist die Frage:

Wenn der Procentsatz das ihm entsprechende Grundkapital (100, 100 + %, 100 – %) erfordert, welchen Werth erfordern die gegebnen Procente?

Von welchen Beträgen ist gerechnet worden 75 Th. à 6% vom 100? 1)
78f. à 3% auf 100? 2)
(à 31/2%–) 8f. 68 cts. im Hundert? 3)
ad 1.) 6 : 75 = 100 : x ad 2) 3 : 78 = 103 : x ad 3) 31/2: 8,68 = 961/2: x
x = 1250 Th. x = 2678f. x = 239,32 fcs.


IV) Aufsuchung des Procentsatzes.

Obgleich auch hier ein reines, vermehrtes od. vermindertes Kapital gegeben sein kann, so ist hier doch nur der Procentsatz vom 100 aufzusuchen. Denn Procentsatz vom 100 wird nur dadurch Procentsatz auf od. im 100, daß er sich auf einen nach demselben Procentsatz vermehrten od. verminderten Werth bezieht. Also bleibt der Procentsatz überall derselbe, u. nur die Beschaffenheit des Kapitals ist es, die den Unterschied bewirkt.|

126

a) Wenn man an 175 Th. einen Gewinn od. Verlust von 7 Th. hat, wie viel Procent beträgt dieß? Das reine Kapital ist gegeben, also PCte vom 100.

175 : 100 = 7 : x
x = 4%.

b) Wenn von 126 M.B. 12β abgezogen werden 24 M.B. 9β, wie viel PCt auf 100 beträgt dieß? Das vermehrte Kapital ist gegeben.

Man fragt also: wieviel geben 100, wenn 102 M.B. 3β ⦗126 M.B. 12β ÷ 24.9⦘ geben 24 M.B. 9β?

1023/16: 100 = 249/16: x
x = 24%.

Oder wenn in 182 Rth ein Gewinn von 7 Th. steckt, wie viel Procent beträgt dieß: (182 ÷ 7) : 100 = 7 : x. und x = 4%.

c) Wenn ein Kapital durch einen Verlust von 7 Th. auf 168 Th. reducirt ist, wie viel % beträgt der Verlust? Vermindertes Kapital gegeben. Procente im 100.

(168 + 7) : 100 = 7 : x
x = 4%.

Oft sind die Procente nicht geradezu gegeben, sondern müssen erst aus den gegebnen Werthen gefunden werden.

Wenn statt 950 Thl. bezahlt werden 988 od. 912: wie viel Procent mehr od. weniger bezahlt?

950 : 100 = 38 ⦗= 988 – 950. (950 – 912)⦘ : x. x = 4%.

Wenn man statt 3463 M.B. 1β nur 3186 M.B. 14β bezahlt, wie viel % auf 100 beträgt der Verlust? Abzug = 3463 M.B. 1 – 3186.14 = 276 M.B. 3β.

Also: 31867/8: 100 = 2763/16: x. x = 82/3%.

Wieviel % im 100 beträgt es, wenn statt 1875f. berechnet werden 2000f? Die Verrechnung im 100 = 2000–1875 = 125f. Also:

2000 : 100 = 125 : x.
x = 61/4%.

Manchmal wird statt von 100 von 1000 gerechnet ‰, besonders in der Wechselcourtage oder Sensarie.

Verwandlung eines Procentsatzes in den andern.

Wie viel % vom 100 betragen 12% auf 100? 112 : 100 = 12 : x. x = 105/7%.

Wieviel % auf 100 betragen 5% vom 100? 95 : 100 = 5 : x. | x = 55/19%.

Wieviel % vom 100 betragen 4% im 100? 96 : 100 = 4 : x. | x = 41/6%.

Wie viel Pct im 100 betragen 4% vom 100? 104 : 100 = 4 : x | x = 311/13%.



Anwendung der Procentrechnung.

 Feller/Odermann, S. 180. Marx lässt das bei Feller/Odermann eigentliche a) Berechnung von Provision, Courtage, Assecuranzprämie usw. aus.
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a) Gewinn- u. Verlustrechnung
.

α) Wie viel gewinnt od. verliert man an Waare, zu 15 Th. eingekauft, mit 6% Gewinn od. 6% Verlust verkauft? | 15 Th. reines Kapital. Procente vom 100. | 1% = 0,15  Anmerkung von Marx.
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(100ste Theil von 15)
6% = 0,9 Thl.

β) Wieviel beträgt der im Verkaufspreis von 15,9 Th. enthaltne Gewinn, à 6%? 15,9 = Vermehrtes Kapital. Procente auf 100. Also: 106 : 15,9 = 6 : x. x = 0,9 Thaler.

γ) Wieviel der durch den Verkaufspreis von 14,1 Rth hervorgebrachte Verlust à 6%? 14,1 Th. = vermindertes Kapital, also Procente im 100. ∴ 94 : 14,1 = 6 : x | x = 0,9 Thl.

Beispiele.

1) Wie ist Waare mit 15 Th. gekauft mit 6% Gewinn od. Verlust zu verkaufen?

15 Th = Reines Kapital. Also Vermehrung od. Verminderung auf % vom 100.
100 : 15 = 106 : x. x = 15,9. Oder: 6 : 0,9 = 106 : x = 15,9 Th.
100 : 15 = 94 : x x = 14,1 Th. 6 : 0,9 = 94 : x. x = 14,1 Th.

2) α) Wenn der an einem Verkauf gemachte Gewinn oder Verlust à 6% = 0,9 Th., wieviel beträgt der Einkauf?

Das Einkaufskapital ist reines Kapital. Also Procente vom 100. Der Ansatz ist in beiden Fällen derselbe.
6 : 0,9 = 100 : x. x = 15 Th.

2) β) Der Verkaufspreis ist 15,9 Th. u. enthält 6% Gewinn. Wie viel kostet die Waare im Einkauf?

15,9 Th. vermehrtes Kapital, also % auf 100.
106 : 15,9 = 100 : x. x = 15 Th.

2) γ) Verkaufspreis, ca 6% Verlust, = 14,1 Th. Wie viel kostet die Waare im Einkauf?

14,1 Th. vermindertes Kapital, also % im 100.
94 : 14,1 = 100 : x. x = 15 Th.

3) α) Einkaufspreis = 15 Th. Darauf Gewinn od. Verlust 0,9 Th. Wie viel Procent beträgt dieß?

Kapital in beiden Fällen 15 Th. reines Kapital, Procente von 100.
15 : 100 = 0,9 : x. x = 6%.

β) Verkaufspreis von 15,9 Th. enthält Gewinn von 0,9. Wie viel % enthält derselbe?

15,9 vermehrtes Kapital, also % auf 100.
15,9 – 0,9 oder 15 : 100 = 0,9 : x. x = 6%.

γ) Verkaufspreis von 14,1 Th. enthält Verlust von 0,9 Th. Wie viel % beträgt derselbe?

14,1 Th. vermindertes Kapital, also % im 100.
14,1 + 0,9  Zwischenschritt von Marx.
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= 15. 15
: 100 = 0,9 : x . x = 6%.

Man hätte auch für β) u. γ) sagen können.

β) 15 : 100 = 15,9 : x. x = 106 Th.

γ) 15 : 100 = 14,1 : x. x = 94 Th.

Hier die % im  Feller/Odermann, S. 181: Grundcapitale
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Gesammtwerth
versteckt. So viel mehr > 100% Gewinn etc.

Um obige Fragen durch einfache Regel de Trisätze lösen zu können, müssen Einkaufs- u. Verkaufspreis in derselben Valuta (Geldwährung) bestimmt sein u. sich auf dieselbe Quantität beziehn. Wo nicht dieß der Fall, vorherige Reductionen nöthig. Oder Kettensatz anzuwenden.

Beispiel.

1 Ctr (à 100lb) kostet im Einkauf 30f. Man verkauft 1lb mit 24xr. |  Zusatz von Marx.
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1fl. = 60xr.
 | Wie viel % beträgt Gewinn od. Verlust?

Erste Rechnungsart.

Kostet 1 Ctr = 30f., so 1lb = 18xr. Man gewinnt also 6xr mit 24xr 18xr. Wie viel mit 100?

18 : 100 = 6 : x. x = 331/3%.

Zweite Rechnungsart.

Verkauft man 1lb mit 24xr, so ein Ctr mit 40f. Man gewinnt also 10f. mit 30fc. Wie viel mit 100?

30 : 100 = 10 : x. x = 331/3%.

Dritte Rechenart durch Kettensatz.

x f. Verkauf = 100f. Einkauf.
30 = 100lb.
1 = 24xr Verkauf
60 = 1f.
Also x =  10000×24 600×3 100×24 6×3 400 3 = 1331/3 Verkauf. Die %331/3 hier im Gesammtwerth versteckt.

Unter obigen Voraussetzungen wird der Einkaufspreis eines Centners gesucht?

x f. Einkauf = 1 Ctr
1 Ctr = 100lb.
1 = 24xr
60 = 1f.
1331/3 = 100f. Einkauf. x = 30f.

Ein andrer Fall ist, wenn aus einem Verkaufspreis, wobei gewisse Procente Verlust od. Gewinn, ein Verkaufspreis mit gewissen Procenten Gewinn od. Verlust gesucht werden soll, oder aus einem, Gewinn od. Verlust schon einschliessenden Verkaufspreis ein solcher zu finden ist, welcher erhöhte Procente in sich faßt.

Hier kann man entweder, wie früher gezeigt, zuerst den Einkaufspreis u. dann den Verkaufspreis nach Maßgabe der zu gewinnenden oder zu verliernden % suchen,

Oder jeden dieser Fälle in einem Regel de Tri Satz berechnen,  Zusatz von Marx.
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wie folgende Beispiele zeigen. (Verte)
|

127

Beispiele.

1) Waare verkauft zu 15 Th. mit Verlust von 10%. Wie zu verkaufen, um 5% zu gewinnen? 90 : 15 = 105 : x. x = 171/2 Th.

2) Waare verkauft zu 171/2 Th., wobei 5% Gewinn. Wie ist sie mit 10% Gewinn zu verkaufen? 105 : 171/2 = 90 : x. x = 15 Th.

3) Waare verkauft zu 171/2 Th mit 5% Gewinn. Wie zu 8% Gewinn zu verkaufen? 105 : 171/2 = 108 : x. x = 18 Th.

4) Waare verkauft zu 15 Th. mit 10% Verlust. Wie zu verkaufen, wenn man 20% verlieren muß? 90 : 15 = 80 : x. x = 131/3 Th.

Um jedoch reinen Gewinn oder Verlust auf ein Geschäft berechnen zu können, Zinsen zu berechnen auf die Zeit, worin das Anlagekapital nicht benutzt werden kann.

b)  Feller/Odermann, S. 186.
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Rabattrechnung.
(Rabbattere ital.)

Bedeutet eigentlich. Rabatt – einen Wiederabzug des vorher zu einem gewissen Betrag hinzugefügten. Im Allgemeinen aber Rabatt = jeden, meist procentweis berechneten Abzug, entweder als Vergütung für frühere Zahlung (Discont) od. als einen besondern oft nur scheinbaren Vortheil, der gewährt wird, oder Abzug den Käufer für Mangelhaftigkeit der Waare macht (Decort).

Das Kapital, von welchem der Rabatt genommen werden soll, heißt das rabattirende; das von welchem er bereits genommen ist, das rabattirte Kapital.

Beispiele. aufgesuch(?)

Wie viel der Rabatt von 1207 Th. à 3% u. 61/4 vom u. auf 100?

Aufsuchung der Procente. Aufsuchung der Procente.

[a)] 12,07 × 3 = 36,21 Th. [b)] 103 : 1207 = 3 : x. x = 3516/103 Th.
[c)] 1207 div. durch 16 = 757/16 Th. [d)] 1207 div. durch 17 = 71 Th.

Wie viel betragen 1207 Th. nach Abzug obiger Rabattprocente? Aufsuchung des rabattirten Kapitals?

[a)] 1207 – 36,21 (= 3%) = 1170,79 Th. [b)] 1207 – 757/16 (= 1/16 aus 1207) = 1131 9/16 Th.
[c)] 103 : 1207 = 100 : x. x = 117187/103 Th. [d)] 1207 – 71 (= 1/17 aus 1207) = 1136 Th.

Von welchem Kapital rechnete man: 36,21 Th. à 3% und 757/16 Th. à 61/4% vom 100; 3516/103 à 3% u. 71 Th. a 61/4% auf 100?

Aufsuchung des zu rabattirenden Kapitals?

[a)] 3 : 36,21 = 100 : x. x = 1207 Th. 757/16 × 16 = 1207 Th.
[b)] 3 : 3516/103 = 103 : x. x = 1207 Th. 71 × 17 = 1207 Th.

Die Usanz Rabatten sind  Feller/Odermann, S. 188: scheinbarer Vortheil
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reine Charlatanerie
. Ob sie vom od. auf 100 berechnet, sie sind dem Verkaufspreis schon hinzugefügt.

Z.B. Stück Waare mit dem gewöhnlichen Profit inclusive kostet 20 Th. Wie stellt Verkäufer den Preis, je nachdem er 5% Rabatt auf 100 od. vom 100 gewährt?

Wenn auf 100: 100 : 105 = 20 : x; Wenn von 100: 95 : 100 = 20 : x
x = 21 Th. x = 211/19 Th.

Im zweiten Fall erhält er statt des Verkaufspreises von 100 nur 95; statt 95 muß er 100 fordern. Im ersten Fall erhält er statt 105 nur 100; statt 100 muß er also 105 fordern.

 Kommentar von Marx.
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Wenn das Vieh nun ohne den Rabatt trick für 20 Th. 20 Th. forderte, wäre all the same.

10 Stück à 20 Th. ohne Rabatt = 200 Th.
10 St. à 21 Th. mit 5% Rabatt auf 100 = 210.
Ab 5% = 1/21 des Betrags = 10 = 200 Th.
10 St. à 211/19 Th. mit 5% Rabatt vom 100 = 210 Th. 10/19
ab 5% = 1/20 des Betrags = 10 Th. 10/19 = 200 Th.

Für den Verkäufer völlig gleich, ob er Waare ohne Rabatt, mit 5% auf 100, od. mit 5% vom 100 verkauft, wenn er nur den Preis danach stellt.  Kommentierende Zusammenfassung von Marx.
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Usanzmässige Rabatte Humbug
, wenn nicht Vergütungen für baare Zahlung. Hätte man hier vom Preis von 21 Th. p. Stück nach 5% vom 100 verkauft = 1/20 des Kapitals = 11/20 Th., so erhielte man für das Stück nur 1919/20 Th., also 1/20 Verlust. Dieser Verlust bildet genau den Rabatt à 5% vom 100 auf den eigentlich zu bewilligenden Rabatt von 1 Th. (100 : 1 = 5 : x = 1/20 Th.)

In der Praxis nicht immer so genau unterschieden, u. mancher Irrthum bei der Feststellung von Preisen mit Rabatt begangen.

Der Rabatt, welchen die Verlagsbuchhändler dem Sortimentsbuchhändler auf den Laden- od. ordinären Preis geben, wird stets vom 100 gerechnet, u. ist die einzige Vergütung, die der Sortimentsbuchhändler für Unkosten, Zeit u. Mühe hat. Dieser Rabatt wird von 10–331/3% berechnet. Der Preis eines Buches nach Abzug des Rabatts ist sein Nettopreis.

Wie viel beträgt eine Buchhändlerrechnung von 432f. 48xr nach Abzug von 61/4% Rabatt?

432f. 48xr.
÷ 27. 3 = 1/16 aus dem Betrag
405f. 45xr



 Feller/Odermann, S. 196.
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Zinsrechnung.

Berechnet auf 100, nach Procenten. Die Anzahl der Einheiten, die man auf 100 nimmt = Zinsfuß.

Einfache Zinsen, wenn Zinsen vom Entlehner des Kapitals zu bestimmten Terminen gezahlt werden; er zahlt zu einer bestimmten Zeit das geliehne Kapital unverändert zurück.

Zusammengesezte Zinsen, Zinseszinsen, Zins vom Zins, wenn Entlehner die fällig werdenden Zinsen zum Kapital schlägt, kapitalisirt, u. nun das vermehrte Kapital verzinst. Selten in kaufmännischer Rechnung.

A) Einfache Zinsen. A) Einfache Zinsen.

I)  Feller/Odermann, S. 197.
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Aufsuchung der Zinsen eines Kapitals.

Zinsfuß versteht sich gewöhnlich auf 1 Jahr, bei Discontgeschäften zuweilen für den Monat.

Der Zeitraum aber, für welchen die Zinsen eines gegebnen Kapitals zu berechnen sind, lassen läßt sich ausdrücken nach Jahren, Monaten, Wochen, Tagen.

a) Zinsen nach Jahren.

Wenn Zinsfuß auf 1 Jahr berechnet u. die Zinsen eines gegebnen Kapitals für 1 Jahr zu berechnen sind, so kommt, die Zeit nicht in Betracht u. es handelt sich nur um Aufsuchung der Procente vom 100. Wäre der Zinsfuß ein monatlicher, so multiplicirt man ihn × 100, wodurch er auf einen jährlichen reducirt wird.

Wie viel die jährlichen Zinsen von 843 834 Th. à 3%?

100 : 843 834 = 3 : x. x = 25,02. Oder: 1% = 8,34
3 = 25,02 Th.

Sind die Zinsen für mehrere Jahre zu berechnen, so geschieht die Berechnung zunächst für 1 Jahr u. das erhaltene Resultat wird dann mit der Anzahl der Jahre multiplicirt. Oder man multiplicirt den Zinsfuß mit der Anzahl der Jahre; so ist 41/2% in 2 J. = 41/2× 2% = 9% in 1 J.; od. = 1% in 9 Jahren.

Beispiele.

Wie viel betragen die Zinsen von 456 Rth à 3% in 7 J.

4,56 = 1% in 1 J.
3 × 4,56 = 13,68 = 3% in 1 J.
95,76 Th. = 3% in 7 J.

Zinsen von 945f. à 31/3% in 4 J.?

31/3% = 1/30 des Kapitals.
945/30 = 31f. 30xr = 31/3% in 1 J.
× 4
126fl. = 31/3% in 4 J.

Zins von 485 Fs. 50 cts. à 31/2% in 4 J.?

31/2% in 4 J. = 14% in 1 J.
4,855 = 1%
× 14
67,970 Fcs. = 67 Fcs. 97 cts.

Zins von 1326 M.B. 8β. à 5% in 21/2 J.?

5% in 21/2 J. = 121/2% in 1 J.
121/2% = 1/8 des Kapitals.
1326 M.B. 8β 8 = 165 M.B. 13β.

Bestehn Kapital, Zinsfuß u. Zeit aus unbequemen Zahlen, so Regel Multiplex anzuwenden: Z.B. wie viel Zins von α) 819 Th. à 42/3% in 13/4 J.? u. von β) 56f. à 61/2% in 3/4 J?

α) 100 : 819 = 42/3% : x β) 100 : 56 = 61/2% : x
1 : 13/4 1 : 3/4
x =  Zwischenschritt von Marx ergänzt.
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819×14×7 100×3×4
= 7×273×7 100×2 = 66,885 Th.
x = 2,73f.|

128

b) Zinsen nach Monaten.

Man rechnet nach Jahr; nimmt dann aus diesem Resultat denselben Theil, welchen die gegebnen Monate aus einem J. bilden. Oder Monate als Bruch vom Jahr betrachtet, Zinsfuß × mit diesem Bruch.

α) Zins von 964 Th. à 5% in 5 Mt? β) Zinsen von 520 Th. à 3% in 4 M.?
9,64 × 5 1 Pct p. Jahr. 4 Mt. = 1/3 J.
48,20 = 5% in 1 J. 1/3 × 3% = 1%.
16,066 = 5% in 4 Mt. (1/3 J.) 1% von 520 Th.= 5,20 Th.
4,017 = 5% in 1 Mt. (1/4à 4 Mt.)
20,083

Oder Regel Multiplex anzuwenden.

Zinsen von 429 Th. à 31/2% in 19 Monaten?

100 Th : 429 Th = 31/2% : x (Je mehr Kapital, desto mehr Zinsen.
12 : 19 = (Je mehr Zeit, desto mehr Zinsen
x =23,77 Th.

c) Zinsen nach Wochen.

früher (vor 1851) in Augsburg unter den Bankiers üblich.

d) Zinsen nach Tagen.

Im kaufmännischen Verkehr Zinsen meist nach Tagen gerechnet. Dabei nimmt man 1 J. = 360 T., jeden Monat = 30 T. Selbst wenn man bei Ermittlung der Anzahl Tage, für welche die Zinsen zu berechnen sind, jeden Monat zu der Anzahl der Tage berechnet, die er wirklich hat, versteht sich doch der Zinsfuß immer für 360 T. Ausnahmen: England, Englische Colonien, u. Amerika. Hier versteht sich der Zinsfuß für 365 T. Man rechnet also auch jeden Monat zu der Anzahl der Tage, die er wirklich hat.

Demnach ist für jeden Fall, wo die Zinsen nach Tagen zu berechnen sind, dreifache Lösung möglich, wie folgt für: Zins von 1832 Th. à 4% von 7 Feb. bis 11 Sept. 1855?

α) Zinsfuß für 365 Tage β) Zinsfuß für 360 T. γ) Zinsfuß für 360 Tage.
1 Mt. = so viel Tage als er hat. 1 Mt. = so viel Tage als er hat. 1 Mt.= 30 Tage.
100 : 1832 Th. = 4% : x 100 Th. : 1832 Th = 4% : x 100 Th. : 1832 Th. = 4% : x
365 Tage : 216 T. = 360 T. : 216 T. 360 T. : 213 T. =
x = 43 Th. 11 Sgr. x = 43 Th. 29 Sgr. x = 43 Th. 16 Sgr. 8 Pf

Der Wahrheit  Zusatz von Marx.
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(!)
kommt man am nächsten u. auch am bequemsten zu 360 T. = Jahr, u. Monat = 30 T.

Wenn man den Hauptansatz

γ) 100 Kapital : gegebenen Kapital = Zinsfuß : x
360 Tage : gegebne Tagen

mit dem Zinsfuß in 360 × 100 = 36,000 dividirt, so erhält man, da die meisten der im Handel gebräuchlichen Zinsfüsse ohne Rest in 36,000 enthalten sind, einen Quotienten, den man folgendermaassen zur Zinsenberechnung benutzt: Man multiplicirt das Kapital mit den Tagen und dividirt das Produkt durch den Quotienten, den der Zinsfuß giebt.

 Die Rechnung ist ein Zusatz von Marx.
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Nämlich: x =
Gegebnes Kapital × mit gegebnen Tagen × mit Zinsfuß 100 (Kapital) × 360 Tage = (Gegebnes Kap. × gegeb. Tage.) × mit Zinsfuß 36000 = Geg. Kapit. × Gg. Tage 36000/Zinsfuß .

Diese als Divisoren zu benutzenden Quotienten sind z.B. für 1% = 36000 1 = 36000. für 4% =  36,000 4 = 9000. etc

Z.B. Zinsen von 948 Th. à 4% in 148 Tagen? 948×148 9000 = 15 Th. 18 Sgr.

Berechnung von Zinsen mehrerer Kapitalien.

α) Gleicher Zinsfuß u. Gleiche Zeit: Addirt die Kapitalien. Berechnet von der Summe in gewöhnlicher Weise.

Zins von 960 Th, 430 Th., 500 Th. u. 1250 Th. in 9 Monaten à 4%?

Summe der Kapit. = 3140 Th. à 9 Mt. à 4% = 94,2 Th.

β) Ungleicher Zinsfuß u. Gleiche Zeit:  Feller/Odermann, S. 211: Die Berechnung
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Methode
beruht auf dem Grundsatz, daß Zinsen von 100f. à 5% = Zins. von 500f. à 1%; Zinsen von 100f. in 4 Mt. = Zinsen von 400f. in 1 Mt, ferner Zinsen von 100f. à 4% in 3 J. = Zinsen von 4 × 3 × 100 fcs. in 1 J. Man multiplicirt daher jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, wodurch Kapitalien entstehn, die à 1% ausgeliehn sind, u. berechnet nun von deren Summe die Zinsen für die gegebne Zeit.

Z.B. Zinsen von 920 Th. à 4%, 760 Th. à 3%, 184 Th. à 31/2% in 11/2 Jahren?

920 Th. à 4% = 3680 Th. od. 6604 Th. à 1% in 11/2 J. x = 6604×1 1/2 = 99,06 Th. Zinsen.
760 à 3 = 2280
184 … 31/2 = 644

γ) Gleicher Zinsfuß u. Ungleiche Zeit: Die gegebnen Zeiten auf gleiche Benennung zu bringen; hierauf multiplicirt man jedes Kapital mit der ihm zugehörigen Zeit, wodurch Kapitalien entstehn, von deren Summe die Zinsen für 1 Zeit, d.h. für 1 J., 1 Mt. u.s.w. zu berechnen sind.

Z.B. Zinsen für 900f. in 7 Mt., 840f. in 61/2 Mt., 650f. in 3/4 J., u. 1245f. in 20 T. à 5%?

900f. in 7 Mt. = 6300f. in 1 Mt.
840  Feller, Odermann, S. 212: 61/2
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6
=
5460
650 9 = 5850
1245 2/3 = 830
18440 in 1 Mt à 5%. x = 76f. 50xr.

 Eigene Berechnung des Zwischenschritts von Marx.
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Nämlich:

100 : 18440 = 5% : x
12 M. : 1
x =  18440×5 1200 = 18440 240 .

δ) Ungleicher Zinsfuß u. Ungleiche Zeit. Man bringt die Zeitbestimmungen auf gleiche Benennung, multiplicirt jedes Kapital × seiner Zeit u. seinem Zinsfuß, berechnet von der Summe der Produkte Zinsen à 1% für 1 Zeit.

Beispiel: Wie viel beträgt Zinssumme von 490 Mc. Banco à 3% in 9 Mt, 860 à 4% in 11/4 J;

642 à 6% in 65 T.; 2000 à 3/8 pr. Ct. p. Mt in 10 Monaten?

490 à 3% in 9 Mt. = 13,230 Mc. B. à 1% in 1 Mt.
860 à 4 15 = 51,600
642 à 6 21/6 = 8346
2000 … 41/2 10 = 90000
x =  163176 1200 = 135 Mc. Bco. 15β.

II)  Feller/Odermann, S. 212.
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Aufsuchung des Kapitals.

Bei Aufsuchung der Zinsen eines Kapitals kommen nur direkte Verhältnisse vor, bei Aufsuchung von Kapital, Zinsfuß u. Zeit dagegen direkte u. indirekte.

Kapital u. Zinsen in direktem Verhältniß. ( Feller/Odermann, S. 212: je mehr Zinsen, desto mehr Capital
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Je mehr Kapital desto mehr Zinsen
) Kapital u. Zinsfuß in indirektem Verhältniß (Je grösser Zinsfuß, desto kleiner kann Kapital sein etc) Kapital u. Zeit in indirektem Verhältniß (Je grösser Zeitlänge, desto kleiner Kapital etc)

Beispiele.

Wie groß Kapital, dessen jährliche Zinsen à 5% 165 Th. betragen?: 5 : 165 = 100 : x. x = 3300 Th. Oder da 165/5 = 33, so muß das Kapital = 33 × 100 = 3300 sein.

Welches Kapital bedarf man, um à 5% dieselben Zinsen zu geben, welche 3200f. à 4% geben? 5 : 4 = 3200 : x; x = 2560f. Je grösser der Zinsfuß, desto kleiner das Kapital.

Welches Kapital bringt in 4 J. dieselben Zinsen, wie 1680 M.B. in 3 J.? 4 J. : 3 = 1680 : x; x = 1260. Je mehr Zeit, desto weniger Kapital.

Welches Kapital brachte in 4 Monaten, à 5%, 64f. Zinsen?

4 Mt. : 12 M. = 100f. Cpt. : x (Je weniger Zeit, desto mehr Kapital)
5f. Zins : 64 fcs Z (Je mehr Zinsen, desto mehr Kapital.)
x =  Zwischenschritt von Marx.
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1200×64 20 = 60 × 64
= 3840fl. 
|

129

III)  Feller/Odermann, S. 214.
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Aufsuchung des Zinsfusses.

Wenn Zinsfuß = x Zinsen, die 100 in 1 J. od. 12 M. od. 360 (resp. 365) T. giebt, so bleibt die Frage bei Aufsuchung des Zinsfusses:

x Zinsen geben 100 in 1 Jahr u.s.w.? wenn gegebnes Kapital in gegebner Zeit gewisse Zinsen giebt. Dann sind alle Verhältnisse direkt. Denn ist 100 kleiner od. grösser als das gegebne Kapital so giebt es weniger od. mehr Zinsen. Ist die Zeit (1 J. u.s.w.), die 100 aussteht > [bzw.] < als Zeit für welche das gegebne Kapital ausgeliehn ist, so giebt 100 weniger, mehr Zinsen.

Betrachtet man den Zinsfuß aber als den Maaßstab, nach welchem ein Kapital für eine gewisse Zeit ausgeliehn war od. werden soll, so sind die Verhältnisse indirekt.

Denn je grösser od. kleiner, im Vergleich zu 100, das gegebne Kapital, desto kleiner, grösser kann der Zinsfuß sein.

Je grösser, kleiner, im Vergleich zu der zu 100 gehörigen Zeit, die Zeitlänge, für welche das gegebne Kapital ausgeliehn, desto kleiner, grösser Zinsfuß.

Zu den Zinsen steht jedoch der Zinsfuß in direktem Verhältniß. Je mehr Zinsen, desto grösser, je weniger Zinsen, desto kleiner Zinsfuß.

Beispiele.

Zu welchen Zinsen (x%) ist ein Kapital von 450 Th. ausgeliehn, dessen jährliche Zinsen 18 Th.? 450 : 100 = 18 : x. x = 4%. Direkt: Je kleiner Kapital (100) desto kleiner Zinsen. Indirekt: Je grösser Kapital (450), desto kleiner Zinsen.

Zu welchem Zinsfuß muß ein Kapital ausgeliehn werden, das in 9 Mt. dieselben Zinsen geben soll, die es in 11/4 J. zu 3% gegeben hat? 9 Mt. : 15 = 3% : x. x = 5%. Indirekt: Je weniger Zeit, desto grösser Zinsfuß.

Zu wie viel % müssen 960f. ausgeliehn werden, wenn sie in derselben Zeit die Zinsen geben sollen, wie 840f. à 6%? 960 : 840 = 6 : x. x = 51/4%. Indirekt: Je grösser Kapital, desto kleiner Zinsfuß.

Zu wie viel % ist ein Kapital ausgeliehn, das 120 Th. Zinsen bringt, während es früher à 5%, 1331/3 Th. Zinsen gab? 1331/3 : 120 = 5 : x. x = 41/2%. Direkt: Je weniger Zinsen, desto kleiner Zinsfuß.

Wenn man in 41/2 J. von 850f. Kapital 153f. Zinsen erhoben hat, zu welchem Zinsfuß war dieß Kapital ausgeliehn?

850 : 100 = 153 : x
41/2 J. : 1
x = 4%

Wenn von 450 Th. in 11/2 J. dieselben Zinsen erhoben werden, das Kapital von 765 Th. in 9 Monaten à 6% gab, zu wie viel % erstres Kapital ausgeliehn?

450 : 765 = 6 : x Indirekt Je kleiner Kapital, desto grösser kann Zinsfuß sein
18 : 9 Mt Indirekt. Je mehr Zeit, desto kleiner muß Zinsfuß sein.
x = 5,1%.

IV)  Feller/Odermann, S. 217.
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Aufsuchung der Zeit.

Zeit steht zu Zinsen in direktem Verhältniß: Je mehr\weniger Zinsen desto mehr\weniger Zeit.

Zeit steht zu Kapital in indirektem Verhältniß: Je grösser Kapital, desto weniger Zeit u. vice versa.

Zeit steht zu Zinsfuß in indirektem Verhältniß: Je grösser Zinsfuß, desto weniger Zeit u. vice versa.

Beispiele.

Wie lang stand ein Kapital aus, das 54 Th. Zinsen gab, wenn gleich grosses andres Kapital in 31/4 J. 52 Th. Zinsen brachte? Direkt: Je mehr Zinsen, desto mehr Zeit. 52 Th. : 54 Th. = 31/4 J. : x. x = 33/8 J.

Welcher Zeitlänge bedarf man, um bei gleichem Zinsfuß mit 364f. Kapital so viel Zinsen zu gewinnen, als mit 390f. in 91/3 Monaten?: 364 : 390 = 91/3 Mt : x. x = 10 Mt. Indirekt: Je weniger Kapital, desto mehr Zeit.

Wie viel J. müssen 1000 M.B. ausstehn, um à 4% ebenso viel Zinsen zu geben, als sie à 41/2% in 2 J. 8 Mt. gebracht haben? 4% : 41/2% =  Jahres- von Marx in Monatsangaben umgerechnet.
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32 Mt : x. x = 36 Mt.
od. 3 J. Indirekt: Je kleiner Zinsfuß, desto mehr Zeit.

Wie lange haben 2650 Th. ausgestanden, wenn Zinsen davon à 41/2% 397 Th. 15 Sgr. betragen?

2650 Th : 100 Th. = 1 J. : x Indirekt: Je mehr Kapital, desto weniger Zeit.
41/2%: 3971/2 Direkt: Je mehr Zinsen, desto mehr Zeit.
x = 31/3 J.

Wie lange müssen 1960 Th. ausstehn, eh sie à 3% dieselben Zinsen bringen, wie 1260 à 31/2% in 91/3 Mtn?

1960f. : 1260f. = 91/3 Mt. : x Indirekt: Je mehr Kapital, desto weniger Zeit.
3% : 31/2% Indirekt: Je kleiner der Zinsfuß, desto mehr Zeit
x = 7 Mt.

Ein Kapital von 1780 Mark Banco gab in 225 T. 44 M.B. 8β Zinsen. Wie lange müssen 1125 M.B. ausstehn, um 361/2 M.B. Zinsen zu geben?

1125 M. : 1780 M. = 225 T. : x Indirekt: Je weniger Kapital, desto mehr Zeit.
441/2 Zins : 361/2 Direkt Je weniger Zinsen, desto weniger Zeit.
x = 292 Tage.

V)  Feller/Odermann, S. 219.
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Aufsuchung eines um die Zinsen vermehrten Kapitals.

Man kann diese Aufgabe nicht in einem Satz, aber auf doppeltem Weg lösen.

1) Was betragen 1260 Th. in 61/2 Mt. an Kapital u. Zinsen à 4%?

α) Man berechnet erst Zinsen auf 100. 12 Mt. : 61/2 Mt = 41/2 4 : x. x = 21/6. %. Das Kapital also in 61/2 Monat = 1021/6 u. nun: 100 : 1260 = 1021/6 : x. x = 1287,3.

β) Oder man sucht erst die Zinsen von 1260 Th. in 61/2 M. = 4%. Man findet 27,3 Th. Zinsen. Zum Kapital addirt = 1287,3.

2) Welchen Werth haben, nach 186 Tagen, 980f. Kapital à 5% an Kapital u. Zinsen?

α) 360 : 186 = 5 : x
x = 27/12
+ 100
= 1027/12

 Kommentar von Marx.
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Dieß 100 + Zins à 5% in 186 Tagen.

b) 100 : 980 = 1027/12 : x
x = 1005f. 19xr.

Daraus folgt umgekehrt, daß 1005f. 19xr nach 186 Tagen fällig, einen jetzigen baaren Werth haben von 980f., ein Schluß, der der Discontorechnung zu Grund liegt.|

130

VI)  Feller/Odermann, S. 220.
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Aufsuchung der Zinsen oder des Kapitals, welche in einem, Kapital u. Zinsen darstellenden, Werth enthalten sind.

Nach 7 Mt. erhält man an Kapital u. Zinsen für ein à 5% ausgeliehnes Kapital 967 Th. 12 Gr. 5 Pf. Wie viel betragen die in dieser Summe enthaltnen Zinsen?

12 Mt. : 7 M. = 5% : x
x = 211/12%
10211/12 Th. : 967.5/12 Th. = 21/12 211/12 : x
x = 275/12 Th. Also das ursprüngliche Kapital = 940.
Oder soll das ursprüngliche Kapital von vorn herein gefunden werden, so: 10211/12 Th. : 96711/12 9675/12  Th. = 100 : x. x = 940.



VII)  Feller/Odermann, S. 221.
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Aufsuchung eines mittleren Zinsfusses für mehrere Kapitalien.

a) Gleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten.

Man addirt die verschiednen Zinsfüsse u. dividirt ihre Summe durch die Anzahl der Kapitalien.

Welches ist der mittlere Zinsfuß von 4 gleichen Kapitalien zu 3, 31/2, 4 od. 5%? x = 3+3,5+4+5 4 15,5 4 = 37/8%.

b) Ungleiche Kapitalien u. gleiche Zeiten.

Jedes Kapital ist hier mit dem ihm zugehörigen Zinsfuß zu multipliciren, u. die Summe dieser Producte durch die Summe der Kapitalien zu dividiren. Der Quotien Quotient = mittlere Zinsfuß.

Welches ist der mittlere Zinsfuß folgender auf 3 Monate ausgeliehner Kapitalien:

2000 Th. à 3%, 4000 Th à 4%, 6000 à 41/3% u. 1500 Th. à 6%?

2000 × 3 = 6000
4000 × 4 = 16,000
6000 × 41/3 = 26,000
1500 × 6 = 9000
13,500 in 57,000 = 42/9%.

Probe.

2000 à 3% in 3 Mt.= 15 Th.
4000 à 4% 3 do 40
6000 à 41/3 3 do 65
1500 à 6 3 do 22. 15 Sg.
1421/2 Th.

Aber 13,500 zum mittleren Zinsfuß von 42/9% = 1421/2 Th.

Der Grund dieses Verfahrens: Multiplicirt man jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, so verwandelt man dadurch sämmtliche Beträge in Kapitalien gelegt à 1%, u. es kommt die Verschiedenheit der Zinsfüsse nicht mehr in Betracht. Da nun aber der Zinsfuß nicht für die Summe der Producte, sondern für die Summe der Kapitalien gefunden werden soll, so hat man folgenden Regel de Trisatz zu bilden: Summe der Kap. : Summe der Producte = 1% : x, oder da 1 nicht multiplicirt, x = Summe d. Producte Summe d. Kapitalien .

(da: Je kleiner das Kapital, desto grösser der Zinsfuß.)

c) Gleiche Kapitalien u. Ungleiche Zeiten.

Erst macht man die Zeiten gleichnamig, wenn sie es nicht schon sind. Dann multiplicirt man den Zinsfuß jeden Kapitals mit der ihm zugehörigen Zeit, u. d. dividirt die Summe der Producte durch die Summe der Zeiten.

Von 4 gleichen Kapitalien ist A auf 6 Mt. à 4%, B auf 5 Mt. à 3%, C auf 4 Mt. à 41/2% u. D auf 1/4 J. à 5% ausgeliehn. Welches ist der mittlere Zinsfuß dieser Kapitalien?  Anmerkung von Marx.
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1/4 J. = 3 Mt. Also D auf 3 Mt. à 5%.

6 Mt. à 4% = 1 Mt. à 24% 72/18 = 4% mittlerer Zinsfuß
5 3 = 1 15
4 41/2 = 1 18
3 5 1 15
18 M. 72

Probe

Jedes der 4 gleichen Capitalien sei = 600

600 Th à 4% in 6 Monaten = 12 Th. Zinsen.
600 à 3 5 = 7,5
600 à 41/2 4 = 9
600 à 5 3 = 7,5.
36 Th. Zinsen.

 Kommentar von Marx.
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⦗Nehmen wir die Summe der Monate = 18 u. dividiren sie durch die Anzahl der verschiednen Zeiten, = 4, so Durchschnitt = 18/4 = 41/2 Mt. In dieser Durchschnittsumlaufzeit bringt die Summe der Kapitalien = 600 × 4 = 2400 à 4%, 36 Th.⦘ Die Probe ist anders; daß jedes einzelne Kapital für seine Umlaufszeit zum mittleren Zinsfuß berechnet wird. Es zeigt sich dann:

600 Th. in 6 Mt. = 12 Th. Zinsen
600 5 = 10
600 4 = 8
600 3 = 6
2400 = 36.


d) Ungleiche Kapitalien, Ungleiche Zeiten.

Da in diesem case, neben dem durchschnittlichen Zinsfuß eine mittlere Verfallzeit aufzufinden ist, gehört dieß in die später kommende Terminrechnung (Sieh p. [132–134)]

B)  Feller/Odermann, S. 223.
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Berechnung Zusammengesezter Zinsen.

Es verdoppelt sich ein Kapital mit Zinseszinsen zu 3% in 23,45 J., zu 40 J. 4% in 17,673 J.; es verdreifacht sich in 37,161 J.; 28,011 J. u.s.w.

Die Arithmetik liefert hier nur weniger u. schwerfällig. Die complicirtren Aufgaben nur durch Anwendung der Logarithmen zu lösen.

Beispiele.

A) Wie groß wird ein Kapital von 850 Th., bei jährlicher Zinseszuschreibung mit Zinseszinsen a 5% nach 5 J.?

1) Durch die Kettenregel. 2) Durch Regel de Tri
1 Th. = 850 Th. Kapital. 100 : 850 = 105 : x x = 892,5 Ende des 1 J.
100 = 105 nach dem 1. J. 100 : 892,5 = 105 : x x = 937,125 Ende des 2 J.
100 = 105 2 J. 100 : 937,125 = 105 : x x = 983,9813 Ende des 3 J.
100 = 105 3 J. 100 : 983,9183 ,9813 = 105 : x x = 1033,1804 Ende des 4 J.
100 105 4 J. 100 : 1033,1804 = 105 : x x = 1084,8394 Ende des 5 J.
100 105 5 J
x = 1084,8393 Th  |
131

Wäre die Zinsenzuschreibung halbjährlich erfolgt: so:

x Th = 850 Th.
1) 100 = 102,5 nach 1 Halbjahr
2) 100 = 102,5 2
3) 100 = 102,5 3
4) 100 = 102,5 4
5) 100 = 102,5 5
6) 100 = 102,5 6
7) 100 = 102,5 7
8) 100 = 102,5 8
9) 100 = 102,5 9
10) 100 = 102,5 10
x = 1088,0718.

Zweites Beispiel  Kommentar von Marx.
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(umgekehrt)

Wie groß war das Stammkapital, das nach 5 J. mit jährlicher Zinszuschreibung von 5%, auf 1084,8394 Th. angewachsen ist?

1) Kettenregel. 2) Regel de Tri.
x Th. = 1084,8394 Th. 105 : 1084,8394 1084,8393 = 100 : x. x = 1033,1803.
105 = 100 105 : 1033,1803 = 100 : x. x = 983,9812.
105 = 100 105 : 983,9812 = 100 : x x = 937,125.
105 = 100 105 : 937,125 = 100 : x x = 892,5
105 = 100 105 : 892,5 = 100 : x. x = 850 Th.
105 = 100
x = 850 Th


 Feller/Odermann, S. 226.
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Discontrechnung.

Bei Verkäufen auf Zeit od. Credit, Trassiren auf lange Sicht u.s.w. hat der Schuldner die Bezahlung eines gewissen Betrags zu einer bestimmten Zeit zu leisten, ohne denselben bis dahin verzinsen zu müssen. Der Gläubiger schlägt die Zinsen, die er von seinem Kapital geniessen würde, in diesem Fall, wenn er es selbst benutzen könnte, zu diesem Kapital. Der Schuldbetrag also = Kapital + Zinsen für die gegebne Zeit. Trägt der Schuldner, im Einverständniß mit Gläubiger, seine Schuld vor der Verfallszeit ab, so die Zinsen abzuziehn für die Zeitlänge, um welche früher seine Verbindlichkeit erfüllt. Dieser Nachlaß od. Abzug vom Schuldbetrag = Discont. Das Bezahlen einer Schuld vor Verfallzeit, unter Abzug von Discont heißt Diskontiren. Diskontgeschäft: Wechsel, später fällig, gekauft unter Abzug des Diskonts für die Zeit, welche sie bis zum Diskont noch zu laufen haben.

Das zu discontirende Kapital ist kein reiner, sondern ein vermehrter Werth. Daher die Abrechnung der in demselben enthaltnen Zinsen nicht nach Procentsatz von, sondern auf 100 zu erfolgen. Bei Abrechnung nach Procenten auf 100 bringt die baare Zahlung, wenn sofort zu demselben Zinsfuß wieder angelegt, ebenso viel Zinsen als der durch das Diskontiren erfolgte Abzug beträgt. Z.B. 2060 Th. in 1 J. fällig, sollen mit 3% diskontirt werden.

So: 103 : 2060 = 3 : x. x = 60 u. 2060 – 60 = 2000. Diese Summe zu 3% sofort wieder zinsbar angelegt, giebt 100 : 200 = 3 : x. x = 6000/100 = 60 Th. – Würde dagegen der Diskont vom 100 berechnet, so hätte man: 100 : 2060 = 3 : x. x =  Zwischenschritt von Marx.
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6180/100
= 61,8. Die baare Zahlung wäre 2000 – 61,8 = 1998,2 Th., welche, zu 3% angelegt, nur 59,946 Th. Zinsen giebt, Verlust für Empfänger von 1,854 Th., den er nur dadurch ausgleichen könnte, daß er die erhaltene Summe zu höherem Zinsfuß, etwas 31/10% wieder ausliehe.

Obgleich durch die letztre Art den Diskont zu berechnen, Empfang im Nachtheil, doch kaufmännischer usus. Theils Rechnung bequemer, theils der Unterschied in kaufmännischen Geschäften nur selten von Bedeutung, denn Zeitraum, wofür diskontirt wird, meist kurz. Anders aber in Beziehung auf Discontgeschäft mit Nichtkaufleuten. Erwerbung von Grundstücken u.s.w.

 Diese Überschrift samt Überschriftenebene von Marx. Bei Feller/Odermann nur: 1) Einfacher Discont auf Hundert
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A) Einfacher Diskont.

I)  Feller/Odermann, S. 228.
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Einfacher Discont auf 100.

1) Aufsuchung des Diskont.

Wieviel beträgt der Diskont von 1200 Th, am 24. Sept. fällig, u. am 12. Juli mit 4% diskontirt?

Von 12. Juli – 24. Sept., Monat zu 30 T. = 72 T. Man berechnet  Zusatz von Marx.
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d’abord
, wie viel Zinsen geben 100 in 72 T. à 4%? 360 : 72 = 4 : x. | x = 4/5 P.Ct.

Kapital von 100 also in 72 T. werth, à 4% Th. 1004/5. Umgekehrt sind 1004/5 in 72 Tagen fällig = 100 baar, od. geben einen Diskont von 4/5%. Wieviel beträgt der Diskont von 1200? | 1004/5 : 1200 = 4/5: x. | x = 911/21 Th = 9 Th. 15 Sgr. 7 Pf.

Richtiger ist es aber, u. auch gewöhnlicher, bei Discont auf 100 das Jahr zu 365 T. zu rechnen, sowohl für Zinsfuß als Zeit, welche das Kapital noch zu laufen hat. Dann 12 Juli – 24 Sept. = 74 Tage, und:

365 : 74 = 4 : x. x = 296/365%. und daher: 100296/365 : 1200 = 296/365: x. x = 96009/9199 = 9. Th. 19 Sgr. 6 Pf.

Auch das diskontirte Kapital kann zur Auffindung des Diskonts gegeben sein. Dann: Wie viel der Diskont, wenn ein à 72 Tage à 4% diskontirtes Kapital mit 119010/21 bezahlt wird?

Der baare Werth 100 giebt 4/5 Discont; wie viel geben 119010/21? | 100 : 119010/21 = 4/5 : x. x = 911/21 Th.

2) Aufsuchung des diskontirten Kapitals.

Hier kann neben Zinsfuß u. Zeit, entweder das zu diskontirende Kapital oder der Diskont gegeben sein. Man berechnet wie oben die Zinsen von 100 Kapital in 72 Tagen à 4% = 4/5. Wenn 100 +4/5, nach 72 Tagen fällig, = 100 baar, was ist Baarwerth von 1200 Th., nach 72 Tagen fällig? 1004/5 : 1200 = 100 : x. x = 119010/21 Th.

Wie viel wurde für ein à 4% discontirtes Kapital gezahlt, wenn der Discont für 72 Tage 911/21 Th. betrug?

4/5 : 911/21 = 100 : x. x = 119010/21 Th.

3) Aufsuchung des zu diskontirenden Kapitals.

Hier kann, neben Zinsfuß u. Zeit, entweder das diskontirte Kapital od. der Diskont gegeben sein.

Wie groß ist das Kapital, welches nach Abzug von 4% Discont für 72 T., 119010/21 Th. übrig gelassen hat?

Zunächst Zinsen von 100 in 72 T. à 4% zu berechnen. = 4/5%. Dann: 100 : 119010/21 = 1004/5 : x. x = 1200 Th.

Wie groß ist das Kapital, das für 72 T. à 4% mit 911/21 Th. diskontirt worden ist?

100 = 4/5 Zinsen. Also: 4/5: 911/21 = 1004/5 : x. x = 1200 Th.

Als ein diskontirtes Kapital ist der Baarpreis einer Waare dann anzusehn, wenn er dem Preis derselben Waare auf Zeit entgegengesetzt wird u. die Ermittlung des letztern aus dem ersten entspricht der Ermittlung des zu discontirenden Kapitals aus dem diskontirten Kapital.

Ist also z.B. der Baarpreis einer Waare = 16 Th., so sollte derselbe für 3 Mt. Credit, wenn der Verkäufer sich 5% Zinsen rechnet sein: 100 : 16 = 1011/4 : x. x = 16,2 Th. Die Waare könnte zu diesem Preis auf 3 Monate od. baar mit 5% Discont pr J. verkauft werden, der Discont müßte dann aber auf 100 berechnet sein. Da aber im kaufmännischen Verkehr der Discont stets vom 100 berechnet wird, so später anzugebender Weg zur Ermittlung dieses Preises.

4) Aufsuchung des Zinsfusses.

Wie viel % beträgt der Diskont, wenn 1200 Th. für 72 Tage mit 911/21 Th. diskontirt worden sind?

Sowohl Zinsfuß als Zeit verstehn sich immer für 100 Reinwerth, welcher noch keine Veränderung nach gewissen % erlitten hat. Das gegebne zu discontirende Kapital, weil es die % für gewisse Zeit einschließt, ist daher nicht proportional zu 100, u. wird es erst, wenn man es von dem in ihm enthaltnen Diskont befreit hat.

(1200 Th ÷  Zusatz von Marx zur Erklärung des Zeichens.
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(minus)
911/12 Th.) : 100 Th. Kapital = 911/21 Th. Discont : x
72 Tage : 360
x = 4%

Lautete die Frage: Wie viel beträgt der Diskont, wenn nach Abzug von 911/12 Th. Discont für 72 Tage, 119010/21 Th. bezahlt worden sind, so bedürfte es natürlich keiner Abrechnung des Disconts.

5) Aufsuchung der Zeit.

Wie lange hat ein Kapital von 1200 noch zu laufen, welches à 4% mit 911/12 Th. discontirt wurde?

(1200 Th ÷ 911/12 Th) : 100 Th. Kp. = 360 Tage : x T.
4 Th. Discont : 911/21 Th. Discont.
x = 72 Tage


132

II)  Feller/Odermann, S. 231.
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Einfacher Discont von 100.

1) Aufsuchung des Diskont.

Wieviel beträgt discont von 1200 Th. pr. 72 T. à 4%? D’abord zu sehn wie viel 100 in 72 J. à 4% giebt: 360 : 72 = 4 : x. x = 4/5.

Dann: 100 : 1200 = 4/5: x. x = 9,6 Th.

Die Berechnung des Disconts vom 100 (wie auch für jeden der folgenden Fälle) stimmt mit der Berechnung der Zinsen vollkommen überein. Durch das Discontiren nach Discontfuß vom 100 erleidet der Empfänger der Baarzahlung stets grösseren Abzug als nach demselben Discontfuß auf 100.

Es kann auch hier zur Aufsuchung des Disconts das diskontirte Kapital gegeben sein. Z.B. Wieviel der Discont, wenn Kapital, für 72 T. à 4% discontirt, Baarwerth von 1190,4 Th. hat?

Zinsen von 100 in 72 Tagen = 4/5 (à 4%). Hence Baarwerth von 100 vor Verfall der 72 Tage = 100 – 4/5 = 991/5. u. 991/5 : 1190,4 Th. = 4/5 : x; x = 9,6 Th.

2) Aufsuchung des diskontirten Kapitals.

Dazu kann neben Zeit u. Zinsfuß  Feller/Odermann, S. 232: 1) das zu discontirende Capital; 2) der Discont
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das diskontirte Kapital
gegeben sein.

a) Wieviel 1200 Th. nach 4% Discontabzug pr 72 Tage? Man berechnet erst den Discontabzug = 9,6 Th. Dann 1200 Th – 9,6 Th = 1190,4 Th. Oder man ziehe den Discont für 100 in 72 T. = 4/5 von 100 ab = 991/5. Dann: 100 : 1200 = 991/5 : x. x = 1190,4 Th.

b) Wie viel betrug, das diskontirte Kapital, wenn der à 4% pr. 72 Tage berechnete Diskont = 9,6 Th.? 4/5 : 9,6 = 991/5 : x. x = 1190,4 Th.

Formeln zur Vereinfachung der Rechnung: Baarwerth von 800 Th. sei nach 41 Tagen fällig, bei Discont von 4% auf od. von 100.

Nach 360 : 41 = 4% : x, Zinsen in 41 Tagen = 41/90 u. daher:

α) Discont auf 100: α) 10041/90 : 800 = 100 : x od. 9041 : 800 = 9000 : x

β) Discont von 100: β) 100 : 800 = 9949/90: x od. 9000 : 800 = 8959 : x

Daher folgt: α) das nach einem Discontsatz auf 100 zu vermindernde Kapital findet man, wenn man es mit dem zum Discontfuß gehörigen Divisor multiplicirt, u. durch denselben aber um die gegebne Anzahl der Tage vermehrten Divisor dividirt. β) Das nach Discontfuß von 100 zu vermindernde Kapital, wenn man es mit dem um die Anzahl der Tage verminderten Divisor multiplicirt u. durch den Divisor dividirt.

3) Aufsuchung des zu diskontirenden Kapitals.

Ausser Zinsfuß u. Zeit kann hier α) Discont, od. β) discontirtes Kapital gegeben sein.

α) Wie groß Kapital, diskontirt à 4%, mit 9,6 Th. für 72 Tage?

4 Th. Discont : 9,6 Th. Discont = 100 Th. Kapital : x
72 Tage : 360 Tage
x = 1200 Th.

β) Wie groß Kapital, welches nach Abzug von 4% Discont für 72 Tage 1190,4 Th. übrig läßt?

Discont von 100 Th. für 72 Tage à 4% = 4/5 Th; 100 – 4/5 = 991/5. und: 991/5 : 1190,4 = 100 : 1200.

Discontirter Werth, wie bemerkt, entspricht dem Baarpreis einer Waare, ein zu discontirender Werth dem Preise einer auf Zeit od. Credit zu verkaufenden Waare. Nach dem Kaufmannsusus auch im Waarenhandel der Diskont nach dem Fuß vom 100 berechnet. Also Frage: Wie ist aus dem Preis einer gegen baar zu verkaufenden Waare der Preis derselben Waare auf Zeit zu bestimmen?

Z.B. Welches der Preis einer Waare Ziel 3 Mt. mit 5% Disct., wenn sie pr. Casse mit 16 Th. verkauft wird?

Auf 3 Mt. 5% = 5/4% = 11/4%; 100 T. in 3 Monaten also baar werth = 100 – 11/4 = 983/4 baar.

Für 16 Th. baar hat man also, Ziel 3 Mt. zu fordern: 983/4: 16 = 100 : x; x = 1616/79 Th. zu fordern.

Erbietet sich nun der Käufer, dem die Waare mit 1616/79 Th. Ziel 3 Mt. od. pr Kasse mit 5% Discont notirt wird, sofort beim Kaufe der Waare zur Baarzahlung, so erhält der Verkäufer in der That 16 Th. baar, denn 5% auf 16,16/79 Th. für 3 Mt. = 16/79 Th. Macht er aber erst später, z.B. ein Monat vor Verfall, von der Baarzahlung Gebrauch, so Verkäufer  Marxʼ Ausdruck.
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beschissen
. Discont auf 1616/79 Th. pr 1 Mt. à 5% giebt 16/237 Th. – Er erhält also 1616/237 Th. Diese an Zinsen für 1 Mt. à 5% geben nur 239/3555 Th. statt 240/3555 od. 16/237, die er als Discont zu gewähren hatte.

4) Aufsuchung des Zinsfusses.

Welches ist Zinsfuß, wozu 1200 Th. p. 72 Tage mit 9,6 Th. diskontirt worden?

1200 Th. : 100 Th = 9,6 Th Discont : x
72 : 360 Tagen
x = 4%

5) Aufsuchung der Zeit.

Für wie viel Tage wurde Kapital von 1200 Th. diskontirt, wenn 9,6 Th. Discont à 4% gerechnet wurden?

1200 Th. : 100 = 360 Tage : x
4 Dst : 9,6 D. =
x = 72 Tage.

B)  Feller/Odermann, S. 237.
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Zusammengesetzter Discont.

1) Welchen Werth hat am 6. Mai 1855 Forderung von 2000 Th, fällig am 6 August 1857, mit 4% Discont vom Discont? α) Discont vom auf 100. β) Discont vom 100.
x Kapital = 2000 Th. Kp. x Th. Kapital = 2000 Th. K.
104 = 100 (1. Jahr) 100 = 96 für 1 J.
104 = 100 (2 J.) 100 = 96 2 J.
101 = 100 (3 Mt.) 100 = 99 3 M.
x = 1830,804 Th.  Zusatz von Marx.
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(x für erstes Glied: 104 : 100 = 2000 : x)
x = 1824,788 Th.  Zusatz von Marx.
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(x für erstes Glied: 100 : 96 = 2000 : x)

2) Staatsschuld von 20 Mill. Th. soll jährlich um 1% so getilgt werden, daß sich dieß eine Procent immer auf den nach erfolgter Tilgung übrigbleibenden Kapitalbetrag bezieht. Auf welchen Betrag die Schuld reducirt nach 5 Jahren? Procente vom 100.

x Th Kapt. = 20.000000 Th.
100 = 99
100 = 99
100 = 99
100 = 99
100 = 99
x = 19,019800,998 Th.

 Feller/Odermann, S. 239.
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Terminrechnung. (Reductionsrechnung, Zeitrechnung)

Es ist für mehrere zu verschiednen Zeiten fällige Kapitale, eine mittlere, gemeinschaftliche od. Durchschnittsverfallzeit zu finden, zu welcher, ohne Nachtheil für Gläubiger u. Schuldner, die Zahlung dieser Kapitalien auf einmal geleistet werden kann.

Dabei zu unterscheiden:

I) Die Kapitalien sind unverzinslich.

II) Sie sind bis zu ihrer Rückzahlung zu verzinsen, wobei die Zinsfüsse gleich od. ungleich sein können.|

133

I)  Feller/Odermann, S. 239.
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Unverzinsliche Kapitalien.

1) Die Kapitale sind gleich.

Welches ist die gemeinschaftliche Verfallzeit für 6 gleiche Kapitalien von je 900 Th., resp. zahlbar in 4, 5, 7, 9, 10, 14 Monaten?

Man addire die verschiednen Zeiten u. dividire die Summe durch die Anzahl der Kapitalien.

4+5+7+9+10+14 6 49/6 = 81/6 Mt. gemeinschaftliche Verfallzeit.

α) Die Zinsen von der Summe der Kapitalien in der gemeinschaftlichen Verfallzeit – dieß beweist die Richtigkeit der Operation, sind = der Zinsbetrag der Kapitalien in den verschiednen Zeiträumen.

Z.B. Zinsfuß sei = 4%.

900 Th. in 4 Mt. = 12 Th.
900 5 = 15
900 7 = 21
900 9 = 27
900 10 = 30
900 14 = 42
Summe der Zinsen = 147 Th.
u. ebenso 4500 5400 Th. in 81/6 Mt. à 4% = 147 Th. Zin.  Die folgende Berechnung des Zwischenschritts von Marx.
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Da:
100 : 5400 = 4 : x
12 : 81/6
x = 5400×(8+(1/6))×4 1200 5400×(8+(1/6)) 300

β) Vier Tratten, jede von 1800f., am 7 April ausgestellt, 14 Tage, 1 Mt., 7 Wochen dato u. pr. Ende Juni, sollen unter eine gemeinschaftliche Verfallzeit gebracht werden.

Zuvörderst die Verfallzeit jeder Tratte zu ermitteln. Die erste fällig am 21 April, die 2te am 7 Mai, die 3te 26 Mai, 4 am 30 Juni.

Um nun die Anzahl Tage zu finden, welche jede Tratte noch zu laufen hat, kann man rechnen:

1) vom Tag der Ausstellung, 2) vom Tag der frühsten Verfallzeit, u. 3) von willkührlich angenommnen Zeitpunkt, der natürlich die frühste Verfallzeit nicht überschreiten darf.

1) Vom Tag der Ausstellung. (1 Mt = 30 Tage) 2) Vom Tag der frühsten Verfallzeit. 3) Von beliebigem Zeitpunkt, z.B. Tag des Empfangs des Trattenavises, say 15 April.
vom 7 April bis 21 April = 14 Tage Von 21 April bis 21 April = 0 Tage Vom 15 April bis 21 April = 6 Tage
7 Mai = 30 7 Mai = 16 7 Mai = 22
26 = 49 26 = 35 26 = 41
30 Juni = 83 30 Juni = 69 30 Juni = 75
176 Tage. 120 Tage. 144 Tage.
176 Tage dividirt durch 4 = 44 Tage, vom 7 April = 21 Mai 120 T. div. durch 4 = 30 Tage. 21 April = 21 Mai. 144 Tage dividirt durch 4 = 36 T. Vom 15 April = 21 Mai.

2) Die Kapitalien sind ungleich.

Dieß meist der Fall in der kaufmännischen Praxis. Die Rechnungsweise darauf gegründet, daß z.B. 100 Th. in 9 Mt so viel Zinsen geben als 9 × 100 in 1 Mt.

Ein Kommissionair in London hat für fremde Rechnung folgende Verkäufe gemacht:

£250 am 8 Mai. Ziel 3 Mt.
135 29 Mai 3
220 23 Juni 2
196 10 Juli 2
104 21 Juli 8 Tage.

Am 24 Juli will er seinem Committenten Verkaufsrechnung mit gemeinschaftlicher Verfallzeit für die einzelnen Verkäufe ertheilen. Wann tritt diese gemeinschaftliche Verfallzeit ein?

Zunächst die Verfallzeit jedes einzelnen Postens zu ermitteln, u. es finden sich resp. folgende Verfallzeiten: 8 August, 29 August, 23 August, 10 Sept., 29 Juli.

Um nun die Zahl der Tage zu ermitteln, die jeder Posten noch zu laufen hat, kann man vom 24 Juli (Datum der Verkaufsrechnung) od. vom 29 Juli (frühste Verfallzeit) rechnen.

α) Vom Datum der Verkaufsrechnung. (24 Juli) β) Von frühster Verfallzeit. (29 Juli.)
Vom 24 Juli bis 8 August = 14 Tage Vom 29 Juli. bis 8 August = 9 Tage
29 = 35 29 = 30
23 = 29 23 = 24
10 Sept. = 46 10 Sept. = 41
29 Juli = 5 29 Juli = 0

Hierauf multiplicirt man jedes dieser Kapitalien mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die so erhaltnen Produkte u. dividirt ihre Summe durch die Summe der Kapitalien. Quotient giebt die Zahl der Tage, nach deren Ablauf, von dem Tag an gerechnet, wovon man ausgegangen ist, die gemeinschaftliche Verfallzeit eintrat.

α) £250 × 14 = 3500 β) 250 × 9 = 2250
135 × 35 = 4725 135 × 30 = 4050
220 × 29 = 6380 220 × 24 = 5280
196 × 46 = 9016 196 × 41 = 8036
104 × 5 = 520
905 = 24,141 905 [=] 19,616
 Zwischenschritt von Marx.
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24,141 905
= 27 Tage ca
 Zwischenschritt von Marx.
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19616 905
= 22 T. ca. Von 29 Juli. = 21 August.
24 Juli = 21 August gemeinschaft. Verfallzeit.

Die Summe der erhaltnen Producte bildet ein Kapital welches auf 1 Tag ausgelegt ist.

Die Summe der erhaltnen Producte dividirt durch die Summe der Kapitalien bildet ein Kapital welches auf 1 × x Tag ausgeliehn ist.

 Zu diesem Absatz lässt sich keine Entsprechung in der Quelle finden. Wahrscheinlich Kommentar von Marx.
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Wenn 100 Th. auf 3 Mt ausgeliehn = 3 × 100 Th. auf 1 Monat ausgeliehn, so 3×100 100 = auf 3 Mt ausgeliehnes Kapital von 100. Die Richtigkeit zeigt sich durch die Zinsenrechnung für jeden einzelnen Posten.



II)  Feller/Odermann, S. 242.
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Verzinsliche Kapitalien.

Ist der Zinsfuß gleich für alle Kapitalien, so kommt er nicht weiter in Betracht; daher dieser Fall wie die obigen zu behandeln.

Die Zinsfüsse sind ungleich: Es seien zu zahlen:

400 Th. in 4 Mt., bis dahin zu verzinsen à 5%
200 6 4
400 8 31/2
800 9 6%.

Wann u. zu welchem Zinsfuß können diese Kapitalien auf einmal abgetragen werden?|

134

1. Auflösung.

Man multiplicirt jedes Kapital mit seinem Zinsfuß, addirt die dadurch erhaltnen Produkte, u. dividirt deren Summe durch die Summe der Kapitalien. Der Quotient ist der mittlere Zinsfuß.

Jedes der gedachten Produkte multiplicirt man hierauf mit der ihm zugehörigen Zeit, addirt die so erhaltnen Produkte u. dividirt ihre Summe durch die Summe der aus Kapital × Zinsfuß erhaltnen Zahlen. Der Quotient ist die mittlere Verfallzeit.

α) Auffindung des mitt. Zinsfusses. β) Auffindung der gemeinsch. Verfallzeit.
4 × 5 = 20 20 × 4 = 80
2 × 4 = 8 8 × 6 = 48
4 × 31/2 = 14 14 × 8 = 112
8 × 6 = 48 48 × 9 = 432
18 dividirt in 90 90 dividirt in 672
= 5% mittlerer Zinsfuß. = 77/15. Gemeinschaftliche Verfallzeit.

Die Kapitalien in α) u. β) durch 100 abgekürzt.  Zusatz von Marx.
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Sonst hätte man z.B. in α) erhalten 9000/180090/18.

 Zusammenfassende Bemerkung von Marx.
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Durch das Multipliciren α) der Kapitalien mit Zinsfuß u. deren darauffolgende Addition (der Produkte) erhält man 1 Kapital zu 1% ausgeliehn. Und 18 : 90 = 1% : x. x = 90/18 etc. u. durch die Multiplication der Produkte der Kapitalien × Zinsfuß (wie 20 etc) × der Zeit erhält man 1 Kapital, das zu 1 Mt ausgeliehn ist etc

Die Probe:

α) 400 Th. 4 Mt. à 5% = 62/3 Th. β) 1800 Th. in 77/15 Mt. Verfallzeit à 5% γ) 67200 Th. à 1% in 1 Mt.
200 6 4 = 4 1800×(7+7/15)) 240 = 56 Th. Zinsen. 67200×1 1200 = 56 Th. Z.
400 8 31/2 = 91/3
800 9 6 = 36
1800 Th. = 56 Th. Zinsen.

2. Auflösung.

Man multiplicirt erst die Kapitalien mit der Zeit u. dividirt die Summe der Produkte durch die Summe der Kapitalien. Der erhaltne Quotient ist die mittlere Verfallzeit. Jedes dieser Produkte wird hierauf mit dem ihm zugehörigen Zinsfuß multiplicirt, u. die Summe der so erhaltnen Produkte durch die Summe der Produkte aus Kapital u. Zeit dividirt. Der Quotient ist der mittlere Zinsfuß.

α) Auffindung der mittleren Verfallzeit. β) Berechnung des mittleren Zinsfusses.
4 × 4 = 16 16 × 5 = 80
2 × 6 = 12 12 × 4 = 48
4 × 8 = 32 32 × 31/2 = 112
8 × 9 = 72 72 × 6 = 432
18 in 132 = 71/3 Mt. mittlere Verfallzeit. 132 in 672 = 51/11% mittlerer Zinsfuß

Nach dieser Rechnung Verfallzeit kürzer u. Zinsfuß grösser als 1)[.] Da aber Zeit u. Zinsfuß stets in indirektem Verhältniß stehn, so ergiebt sich die Richtigkeit des Resultats:

Je grösser der Zinsfuß (51/11%) im Vergleich zu 5%, desto kleiner die Zeit (51/11 : 5 = 77/15 : x. x = 71/3 Mt.)

Oder: Je kleiner die Zeit (71/3 Mt) im Vergleich zu 77/15 Mt., desto grösser der Zinsfuß (71/3 : 77/15 = 5% : x. x = 51/11%.

Daher auch die Zinsen von 1800 Th. in 71/3 Mt. à 51/11% = Zinsen von 1800 Th. in 77/15 Mt. à 5%.

Ob übrigens 1800 Th. in dem angeführten Beispiel in 2, 3, od. 4 Mt. u.s.w. zurückgezahlt werden, gleichgültig. Jedes Kapital trägt bis zu seiner Rückzahlung die Zinsen nach seinem Zinsfuß u. wird mit diesen Zinsen zurückgezahlt. Aufsuchung eines mittleren Zahlungstermins u. Zinsfusses für mehrere verzinsliche Kapitalien erscheint daher überhaupt überflüssig.

Es ist bereits bemerkt worden, daß jedes zu einer bestimmten Zeit bezahlbare Kapital, wenn nicht bis dahin verzinst, ist als ein Werth anzusehn, der die Zinsen einschließt für die Zeit, welche das Kapital noch zu laufen hat. Darauf begründet sich die Berechnung des Disconts nach dem Zinsfuß auf 100. Von dieser Ansicht aus, Verfahren verändert für Auffindung des mittleren Zahlungstermins für mehrere, zu verschiednen Zeiten fällige, bis dahin aber nicht zu verzinsende Kapitalien.

Gläubiger u. Schuldner haben sich zuvörderst über einen Zinsfuß zu vereinigen, grade so als ob die später zahlbaren Kapitale discontirt werden sollten. Nach diesem Zinsfuß bestimme man den Baarwerth der Kapitalien, addire die erhaltnen Beträge u. ziehe deren Summe von der Summe der später zahlbaren Kapitalien ab. Die Differenz bildet den Betrag der Zinsen, welchen die baaren Werthe in den gegebnen Zeiten gebracht haben würden. Nun fragt man: Wie lange müßte die Summe der baaren Werthe ausstehn, um die gefundne Differenz als Zinsen einzubringen? Die so erhaltne Zeit = die Gemeinschaftliche Verfallzeit der Kapitale.

Z.B. 824 Th. fällig in 6 Mt.
860 15
648 16, sollen auf einmal abgetragen werden?  Anmerkung von Marx.
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6% Zinsen als current Zinsfuß genommen
2332 Th.

Man ermittle zunächst den Baarwerth der einzelnen Kapitale.

12 (Mt.) : 6 Mt. = 6% : x. x = 3%. 103 : 824 = 100 : x. x = 800 Th.
12 : 15 = 6 : x. x = 71/2%. 1071/2 : 860 = 100 : x. x = 800
12 : 16 = 6 : x. x = 8%. 108 : 648 = 100 : x. x = 600

Summe der Kapitalien = 2200 Th.
Baarer Werth von 2332 Th. Also = 2200 Th.
und: 2332 – 2200 = 132 Th. Zinsen.

Wieviel Zeit nöthig um diese 132 Th. Zinsen mit 2200 Th. à 6% zu gewinnen?

2200 Th : 100 Th. = 12 Mt. : x
6% : 132 Zinsen
x = 12 Monate. Dieser die gesuchte Mittlere Verfallzeit.

Ermittelt man die mittlere Verfallzeit, auf die im kaufmännischen Verkehr üblige Zeit übliche Weise, so hat man:

824 × 6 = 4944
860 × 15 = 12,900
648 × 16 = 10,368
2332 in 28,212 = 12,57/583 Mt. gemeinschaftlicher Zahlungstermin.

Dieß Verfahren richtig, so lange der Kaufmann den Discont nach dem Satze vom 100 berechnet, also jedes später fällige, bis zum Eintritt derVerfallzeit aber nicht zu verzinsende Kapital nicht als einen Werth ansieht, der die Zinsen einschließt, sondern als einen solchen mit welchem die Zinsen erst verdient werden sollen. Folgende Berechnung zeigt, daß das Verfahren auf einer Discontirung der Kapitalien nach dem Satz vom 100 beruht: (Rechnung zu 6%)

Für 824 Th. p. 6% p. 6 Mt. = 24,72 Th.
860 15 = 64,15 64,50
648 16 = 51,48 51,84 Th
2332 Th. = 141,06 Discont.

 Zusatz von Marx.
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Nun vergleiche man.
Wie lang 2332 Th. zu laufen?, wenn der à 6% berechnete Discont = 141,06 Th?

2332 : 100 = 12 Mt. : x
6 : 141,06
x =  28212 2332 = 1257/583 Mt.

Verfallzeit hier später – Discontsatz vom 100 giebt grössren Discont; also um ihn zu verdienen, mehr Zeit erforderlich.


135

 Marx führt hier seine auf S. 118 des vorliegenden Hefts unterbrochenen Exzerpte zur Wechselrechnung weiter.
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Wechselrechnung (cont. von p. 118)

II)  Feller/Odermann, S. 366.
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Arbitrage auf Indirektem Weg.

1) Benutzung der Papiere andrer Plätze.

Die hier anzustellnde Untersuchung zeigt, ob man zur Zahlung einer Schuld, statt der direkten Rimesse, Rimessen auf andre Plätze machen, oder zur Einziehung einer Forderung, statt der Tratte auf den Schuldner, dessen Rimessen auf fremde Plätze setzen soll.

Zu solcher Arbitrage bedarf man der Kurse des eignen, sowie des Platzes, an welchen man zu zahlen od. zu fordern hat. Die Frage kann hierbei auf die zu remittirende od. trassirende Summe gerichtet sein. Am üblichsten u. kürzesten aber, sie auf die feste Valuta zu richten, welche dem direkten Kurse zu Grund liegt.

Beispiele.

1) Köln hat an Amsterdam 12,000f. kurze Sicht zu zahlen u. kann direktes Papier à 142,8/10 kaufen. Auf dem Amsterdamer Kurszettel notirt:

London. 2 Mt. 11,75 Geld. (Auf den  Zusatz von Marx.
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lausigen continentalen
Börsen haben die Courszettel meist 2 Preiscolumnen. Die eine ist überschrieben: Geld od. Gesucht (Argent od. Demandé); die andre Briefe od. Angebote (Lettres or offert.)
Feste Valuta = 1£ Diese Papiere also in Amsterdam zu diesen Kursen  Feller/Odermann, S. 366: anzubringen
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unterzubringen
.
Paris 2 Mt. 557/8 = 120 Fcs
Frankfurt 2 Mt. 991/2 = 100f. S.W.
Hamburg 2 Mt. 35 = 40 M. Bco.

Köln kann diese Papiere in denselben Sichten kaufen, mit:

London 6.205/8 (feste Valuta. für 1£ fest)
Paris 80 Th. 300 Fcs fest
Frankfurt 56,26 100f. S.W. fest
Hamburg 1498/10 300 M.B. fest.

Es fragt sich zuerst, wie viel kosten 12,000f.?

London. Paris. Frankfurt. Hamburg Direkt von Köln (Berlin) auf Amsterdam
x = 12,000f. x = 12,000f. x = 12000f. x = 1200 12000f.  Zusatz von Marx.
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1428/10 Th. = 250f. holl. feste Valuta
11,75 = 1£ 557/8 = 120 Fcs. 991/2 = 100f. in Fkft 35 = 40 M.B. 250f. : 12,000f.= 1428/10 Th : x
1 = 611/16 Th. 300 Fcs = 80 Th. 100 = 5613/30 Th. 300 = 1498/10 Th.
x = 6829,79 Th. x = 6872,55 Th. x = 6806,03. Th. x = 6848. Th. x = 6854,4 Th.

In der Regel richtet man aber die Frage auf die feste Valuta des direkten Kurses, hier auf 250f.

Es ist also in obigen Ansätzen statt x = 12000f. x = 250f. zu setzen u. man findet dann:

London = 142,29 Th.
Paris = 143,18.
Frankfurt = 141,80.
Hamburg = 142,67.
Direkt = 142,80.

Am vortheilhaftesten daher für Köln, seine Schuld durch Rimessen in Frankfurter Papier zu zahlen. Denn so kosten ihm 12000f. nur 6806,03 Th. u. 250f. nur 141,80 Th. Auf jedem andren Weg mehr. Köln hat hier Gelegenheit, Rimessen in derselben Sicht, wie sie die Amsterdamer Kursnotirung fordert, zu kaufen. Obgleich seine Rimessen nicht in kurzer Sicht, doch kurzer Amsterdamer Sicht gleich zu achten, weil sie von dem Amsterdamer Haus sofort bei Empfang begeben werden können.

2) Berlin hat an Hamburg in k. Sicht zu fordern, u. kann in dieser Sicht à 151, 7/8 Th. (für 300 M.B. fest) trassiren.

Berlin findet notirt auf dem neusten Hamburger Courszettel:

  • Amsterdam 3 Mt. 36,10 (40 M. Bco. fest)
  • London 3 Mt. 13.21/2(1£ fest)
  • Augsburg 2 Mt. 893/4 (100 Marc Banco fest)
  • Frankfurt 2 Mt. 895/8 (100 Mc. Banco fest)
  • Breslau 2 Mt. 1533/4 (300 Mc. B. fest)
  • Bremen 2 Mt. 140 (300 Mc. B. fest)
  • Paris k. Sicht 1901/2 (100 Mc. B. fest)

Berlin kann diese Papiere in denselben Sichten anbringen

  • Amsterdam 1417/8 (250fl. fest)
  • London 6. 21 (1£ fest)
  • Augsburg 56,24 (100f. S.W. fest)
  • Frankfurt 56,26 (100f. S.W. fest)
  • Breslau 991/3 (100 Th. in Breslau fest)
  • Bremen 1087/8 (100 Th. Gold, Louisdor à 5 Th. fest)
  • Paris 801/2 (300 Fcs. fest)

Die feste Valuta des Berlin Hamburger Kurses = 300 Marc Bo. Zu fragen wie viel 300 M.B. dem Berliner einbringen.

Amsterdam. London. Augsburg. Frankfurt. Breslau. Bremen.
x Th. = 300 M.B. x Th. = 300 M.B. x Th. = 300 M.B. x Th. = 300 M.B. x Th. = 300 M.B. x Th. = 300 M.B.
40 = 36,10f. 13.21/2 = 1£ 100 = 893/4f. S.W. 100 = 895/8f. S.W. 300 = 1533/4 Th. 300 = 140 Th. Louisdor
250 = 1417/8 Th. 1 = 6,7. Th. 100 = 56,24 56,8 Th. 100 = 56,26 5613/15  Th. 100 = 991/3 (Th. in Berlin) 100 = 1087/8 Th.
x = 153,61. x = 152,78 Th. x = 152,93 Th. x = 152,90 x = 152,72 x = 152,425 Th.

Berlin läßt sich daher Hamburger Rimessen auf Amsterdam machen, wo es für 300 M.B. die meisten Th. (153,61) erhält. Auch dann Weg besser als der direkte (1517/8 Th) wenn Hamburger Courtage mit 1/2‰ abgezogen = 153,53 statt 153,61.

3) Auf dem Hamburger Courszettel folgende Notirungen:

Hamburger Courszettel Dieselben Papiere, in gleichen Sichten, sind in Paris notirt:
Antwerpen k. S. 190 (fcs für 100 M.B. fest) 1/8 P.Ct. Perte
Genua 3 Mt. 194 (lire nuove. 100 M.B. fest) 11/4 P.Ct. Perte (983/4 fcs = 100 Lire)
Livorno 3 Mt. 227 (toskanische lire. 100 M.B. fest) 841/4 fcs (= 100 tosk. Lire fest)
London. 3 Mt. 13.21/2 (1£ fest) 24.90 = (1£ fest)
Madrid. 3 Mt. 43 (Shill. Banko für 1 Peso fuerte von 20 Reales fest.) 5181/2 = 100$ fest. ($ Piaster)
Lissabon 3 Mt. 46 (Shill. Bco. für 1 milreïs fest) 5471/2 = 100 Milreïs.
Amsterdam. k. S. 35,40 (für 40 M.B. fest) 2131/2 = (100 holl. fl.)
Petersburg. 3 Mt. 311/4 (Sh. Banko. für 1 Silb. Rubel fest) 370 = 100 R silber fest.
Paris k. S. 190 fcs für 100 Marc Banco fest.

Welche von diesen Wechselsorten verdient vor dem direkten Papier den Vorzug zum Remittiren od. Trassiren?|

136
Antwerpen. Genua. Livorno. London. Madrid. Lissabon. Amsterdam. Petersburg. Direkt.
x Fcs = 100 M. Bco. x Fcs = 100 M. Bco. x Fcs = 100 M.B. x F. = 100 M.B. x F = 100 M.B. x Fcs = 100 M.B. x Fcs = 100 M.B. x Fcs = 100 M.B. Paris. K. S.
100 = 190 fcs. (Antwerpen) 100 = 194 (lire nuove) 100 = 227 (tosk. lire) 135/32 = 1£ 1 = 16β 1 = 16β 40 = 35,40f. 1 = 16β.
43 = 1 Piaster 46 = 1 Milreïs
100 = 99f. 7/8 (in Paris 100 = 983/4 fcs 100 = 841/4 fcs 1 = 24,90 Fs. 1 = 5,185 fcs 1 = 5,475 fcs 100 = 2131/2f. 311/4 = 3,70 fcs 190 fcs = 100 M.B. fest.
x = 189,76 fcs. x = 191,57f. x = 191,25 fcs. x = 189,26 fcs. x = 192,93 Fcs. x = 190,43 x = 188,95 fcs. x = 189,44.

Die Resultate drücken die Summe der Fcs aus, die Hamburg beim Einkauf erhält für 100 M. Bk. u. beim Verkauf geben muß für 100 M.B. Der Weg, daher, auf dem es die meisten fcs erhält für 100 M.B., ist der vortheilhafteste zum Einkauf od. Remittiren. Der Weg, wo es am wenigsten fcs giebt für 100 Mc. Bco, wo also 100 M.B. am wenigsten fcs werth sind, ist der vortheilhafteste zum Verkauf od. Trassiren.

Demnach haben Madrider, Genueser, Livorneser u. Lissaboner Papier den Vorzug vor dem direkten Papier beim Remittiren (obgleich bei Lissab. Papier der Unterschied zu unbedeutend für Beachtung)

dagegen: Amsterdamer, Londoner, Petersburger u. Antwerpner den Vorzug beim Trassiren, obgleich die Differenz bei den beiden letzten unbedeutend. Hat Hamburg an Paris zu zahlen, so wählt es eines eine der erstern Wechselsorten, statt direktes Papier (à 190) zu remittiren; so wird es nicht auf Paris trassiren (à 190), sondern sich Amsterdamer etc Wechsel remittiren lassen.

Z.B. Hamburg habe an Paris 10,000 fcs zu zahlen od. zu fordern; so kosten sie ihm od. bringen ihm ein:

190 fcs : 10,000 fcs = 100 M.B. : x
x = 5263,16 M.B.

Remittirt es in Madrider Papier à 43 (Sh. Bco), das in Paris zu 5181/2 zu begeben ist, so:

x M.B. = 10,000 fcs
5181/2 = 100 Duros
1 = 43β
16β = 1 Mark
x = 5183,22 Mc. B.

Läßt sich Hamburg Amsterdamer Papier von Paris kommen, das ihm mit 2131/2 berechnet wird u. mit ihm à 35,40 begeben wird, so:

x M. B = 10,000 Fcs
2131/2 = 100f.
35,4 = 40 M.B.
x = 5292,47 M.B.

Der Gewinn in sub 1) 2) 3) angegebnen Fällen auf indirektem Weg nur vermindert durch die Courtage, die der Platz, womit man arbitrirt, für Verkauf od. Kauf des indirekten Papiers berechnet. Provision in diesem Fall nicht üblich, wo es sich um Schuldzahlung od. Einziehung von Forderung handelt.

In den Beispielen 1) u. 2) handelt es sich um wohlfeilste Zahlung von Schuld u. vortheilhafteste Einziehung von Schuld.

In Beispiel 3) Frage allgemein: Welche Papiergattung vortheilhaftest für Remittiren od. Trassiren, u. darum handelt es sich stets bei einer Wechseloperation.

Damit will man wissen, welche Wechselsorten man am eignen Platz einkaufen muß, um sie an den Ort zu senden, womit man arbitrirt, damit sie dort verkauft werden, und welche Wechselsorte man dort einkaufen lassen muß, um sie am eignen Platz zu verkaufen, u. aus dieser Operation einen Nutzen zu ziehn.

a) In Beispiel 3), vorzugsweis Madrider zum Remittiren, u. Amsterdamer zum Trassiren geeignet.

Demnach muß Hamburg Wechsel auf Madrid (à 43) in Hamburg kaufen u. in Paris (à 518 verkaufen) u. sich dagegen Rimessen auf Amsterdam (à 2131/2) machen lassen, die es à 35,4 abgiebt. Es gewinnt dabei 2,11%. (188,95  Anmerkung von Marx.
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(Amsterdamer Zahlung von fcs für 100 Marc Banco)
: 100 = 192,93 fcs  Anmerkung von Marx.
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(Madrider Frankenwerth von 100 M. Banco)
: 102,11 fcs)

Beweis:

Hamburg kauft: Reales 25000 auf Madrid. à 43  Anmerkung von Marx.
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(für 20 Reales fest) auf der Hamburger Börse.
= M.B. 3359. 6
Paris begiebt sie à 5181/2 mit = Fcs 6481. 25.
Paris kauft dagegen à 2311/2 ………….. f.3035,71 auf Amsterdam.
Diese werden von Hamburg à 3540 begeben mit M. Bk. 3430. 3
Hiervon ab Betrag des Einkaufs: 3359. 6
Gewinn: Gewinn: M.B. 70. 13. od. 2,11%

Nimmt man den Zinsenverlust zu (10 T. à 6%) 1/6%  Anmerkung von Marx.
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⦗nämlich 360 = : 10 = 6 : x. x = 60/3606/361/6
, die Hamburger doppelte Courtage zu 1‰, da Spesen in Paris 1/3% + 2/8%) 7/12%, u. läßt das Porto ausser Betracht, so vermindern sich obige 2,11% auf 1,26%.

Solche Operation aber nur dann profitlich, wenn das Papier, welches man einkauft, an dem Platz, womit man arbitrirt, theurer verkauft werden kann, u. die Rimessen, die man sich dagegen machen läßt, wohlfeiler eingekauft werden, als man sie begeben kann. In obigen 3) Beispiel das Madrider Papier in Hamburg wohlfeiler als in Paris u. Amsterdamer Wechsel in Hamburg theurer als in Paris.

Hätte Hamburg also Madrider Papier in seinem Portefeuille, so würde es dasselbe in Paris vortheilhafter verkaufen, als an seiner eignen Börse; bedürfte es aber Amsterdamer Wechsel, so würde es sie mit Nutzen in Paris einkaufen lassen.

b) In den bisherigen Ansätzen zunächst untersucht, wie bezahlt man am wohlfeilsten eine Schuld, u. wie zieht man eine  Feller/Odermann, S. 372: Forderung
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Schuld
am wohlfeilsten ein, die man auf dem Platz hat, mit dem man arbitrirt. Daher wurde überall die Frage auf die feste Valuta gerichtet, welche unsrer Coursnotirung zu Grunde liegt, u. die leztre  Anmerkung von Marx.
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(z.B. in Beispiel 3) Paris direct k. S. 190f. = 100 M.B. fest. Hamburger Coursnotirung)
wurde mit den gefundnen Resultaten verglichen. In diesem Fall ist derselbe  Anmerkung von Marx.
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(Paris in Beispiel 3))
also für uns der Hauptplatz, u. die Papiere der übrigen Plätze, die wir bei der Arbitrage benutzen, sollen uns als Mittel dienen, ihn zu befriedigen oder von ihm befriedigt zu werden.

Beispiel 3 zeigte aber, daß sich mit denselben Ansätzen auch die Frage beantworten läßt, ob wir uns der Vermittlung dieses Platzes  Anmerkung von Marx.
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(Paris in dem Beispiel)
bedienen können, um Wechsel durch ihn einkaufen od. verkaufen zu lassen. In diesem Fall wird derselbe für uns zum Mittelplatz, u. jene Plätze um deren Papiere es sich handelt, treten als Hauptplätze auf. Diese Art zu arbitriren ist vorzugsweise dem Bankgeschäft eigen. Man richtet dabei in der Regel die Frage auf die feste Valuta, die den Coursen zu Grund liegt, welche man auf jene Plätze notirt.

In jeden Ansatz ist dann der direkte Cours aufzunehmen, zu welchem man dem Mittelplatz  Anmerkung von Marx.
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(in Beispiel 3 Paris)
Rimessen für den Einkauf machen od. auf ihn gegen den Ertrag der verkauften Wechsel trassiren kann. So würden die Ansätze in Beispiel 3:

Antwerpen Genua Livorno London Madrid Lissabon Amsterdam Petersburg.
x fcs = 100 M. Banco x £ = 100 M.B. x £ = 100 M.B. x M.B. = 1£ x β = 1$ x β = 1 Milreïs x f = 100 M.B. x β = 1R°
100 = 190 Fcs. in Paris 100 = 190 Fcs (Paris) 100 = 190 Fcs (Paris) 1 = 24,90 Fs. 1 = 5,185 Fcs 1. = 5,475 Fcs 100 = 190 Fcs. 100 = 370 Fcs
997/8 = 100 in Antwerpen 983/4 = 100£ 841/4 = 100£ 190 = 100 M.B. 190 = 1600β 190 = 1600β 2131/2 =100f. 190 = 1600β
x = 190,24F. (direkt: 190) x = 192,40£ (direkt = 194£ x = 225,52£ (direkt 227) x = 13M. 111/16β. (direkt 13.21/2 ) x = 43,66β (direkt. 43. x = 46,11β (direkt: 46 x = 35.60. direkt: 35,40 x = 31,16β. direkt: 31,25.

Vergleicht man die Resultate dieser Ansätze mit den darunter bemerkten direkten Kursnotirungen Hamburgs auf diese Plätze, so finden wir, daß Wechsel auf Genua, Livorno, Madrid u. Lissabon theurer sind als in Hamburg, dagegen Antwerpner, Londoner, Amsterdamer u. Petersburger in Paris wohlfeiler zu haben sind als in Hamburg.  Möglicherweise Zusatz von Marx.
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Der Hamburger zahlt zu Paris 100 M.B. für 192,40£ auf Genua, zu Hamburg 100 M. für 194 auf Genua. Er erhält also mehr £ (Genueser) für 100 M.B. in Hamburg als in Paris. Wenn er also M.B. für Lire verkaufen will, sei es, daß er Rimessen nach Genua zu machen hat, od. in Wechseln operirt, so kauft er Genueser wohlfeiler zu Hamburg als zu Paris. Umgekehrt. Wenn er Wechsel auf Genua hat, sei es als Tratte für dort einzuziehnde Schuld, sei es als Papier, womit er speculirt, so muß er zu Hamburg 194 Lire wegzahlen, um 100 M. Banco zurückzuerhalten. In Paris hat er nur 192,40£ zu zahlen für 100 M. Bco. Paris ist also bessrer Platz für ihn zum Verkauf von Lire für Mc Banco, u. Hamburg bessrer Platz zum Kauf von Mc Banco für Lire, etc.

Dasselbe Resultat kam oben heraus.  Zusatz von Marx.
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Evidently so.
Denn da Genueser, Livorneser, Madrider u. Lissaboner Papiere beim Remittiren Vorzug vor direktem Papier (Pariser Wechseln) verdienen, müssen sie in Paris höher zu verkaufen sein, als sie in Hamburg eingekauft werden; u. da die Rimessen des Pariser in Antwerpner, Londoner, Amsterdamer u. Petersburger Wechseln den Vorzug vor einer Tratte des Hamburger auf Paris haben (da diese Papiere sich besser zum Trassiren eignen), müssen sie in Paris wohlfeiler gekauft sein als sie in Hamburg verkauft werden können.

c) Verstehn sich die Kursnotirungen auf beiden Plätzen nicht für dieselben Sichten, so hat der Platz, welcher arbitrirt, seine Notirungen in die Kurse derjenigen Sichten zu verwandeln, für welche sich die Notirungen auf dem Platz verstehn, womit er arbitrirt. Er thut dieß unter Benutzung des Discontfusses, zu welchem an seiner Börse, unter Umständen auch an der Börse des fremden Platzes, die Reduction einer Wechselsicht in die andre erfolgt.|

137

Beispiele.
1) Arbitrage zwischen Augsburg u. Hamburg.
Kurse in Augsburg. Kurse in Hamburg. Indirekt
Amsterdam. k. S. 1001/8f. (S.W. = 100f. H.) k. S. 35.70 89,36
L. S. 4% 3 Mt. 36. 89,21
Berlin. K. S. 1045/8f. (= 60 Th.) 2 Mt. 1531/4 88,48
L. S. 4%
Frankfurt a/M. k. S. 997/8 (in Augsburg = 100f. in Fkft) 2 Mt. 891/8 88,49
l. S. 31/2%
Genua. k. S. 921/2 (f. = 200 ginuesisch Lire) 3 Mt. 194 88,72
l. S. 41/2%
Hamburg. k. S. 877/8 (f. = 100 M. Banco) Augsburg 2 Mt. 891/4 Zinsen in Cto Current 5% 88,50
Livorno. k. S. 991/4 (f = 250 tosk. Lire) Livorno 3 Mt. 227. 88,99
L. S. 5%
London. k. S. 1171/8 (f = 10£) k. S. 13.31/2 88,61
l. S. 3% 3 Mt. 13.21/4 89,03
Paris. k. S. 923/4 (f = 200 Fcs) k. S. 1901/4 88,23
l. S. 4% 3 Mt. 1911/2 87,92.
Amsterdam. K. S.  Amsterdam. 3 Mt. Berlin. Frankfurt a.M. Genua. Hamburg, Augsburg. Livorno. London. k. Sicht. London. 3 Mt Paris. k. S. Paris. 3 Mt.
x f = 100 M. Bc. x f = 100 M.B. x f = 100 M. Banco x f = 100 M.B. x f = 100 M.B. 2 Mt. … 89,25 x f = 100 M. Bco. x f = 100 M. Bc. x f = 100 M. Bc. x f = 100 M. Bc. x f = 100 M.B.
40 = 35,7f. holl. 100 = 36f. holl. 3 Mt. 300 = 1531/4 Th. 2 Mt. 100 = 891/8f. 2 Mt. 100 = 194 lire 3 Mt. Zinsen pro 2 Mt. à 5% … 0,75 100 = 227 lire. 3 Mt. 13.31/2 = 1£ k. S. 13.21/4 = 1£ 3 Mt. 100 = 1901/4 Fs k. S. 100 = 1911/2 Fcs 3 Mt.
100 = 1001/8f. S.W. 100 = 99f. holl. k. S. 100 = 991/3 Th. k. S. 100 = 995/12f. k. S. 100 = 987/8 lire k. S. 100 = 983/4£ k. S. 100 = 993/4£ k. S. 200 = 923/4f. S.W. 100 = 99 k. S.
100 = 1001/8 (f. S.W.) 60 = 1045/8f. S.W. 100 = 997/8f. S.W. 200 = 921/2f. S.W. 250 = 991/4 (f. S.W.) 10 = 1177/ 8f. S.W. 10 = 1177/8f. S.W. 200 = 923/4f. S.W.
x = 89,36. x = 89,21. x = 88,48. x = 88,49. x = 88,72. k. Sicht 88,50. x = 88,99 x = 88,61 x = 89,03. x = 88,23 x = 87,92.

Je weniger Gulden Augsburg auf einem gewissen Weg für 100 Mc. B. zu zahlen hat Anmerkung von Marx.
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⦗u. das ist derselbe: je mehr Marc Banco es für 100 Gulden erhält⦘
, desto vortheilhafter ist dieser Weg Weg zum Einkaufe (Remittiren); Je mehr Gulden Augsburg auf einem gewissen Wege für f. für 100 Marc Banco erhält,  Anmerkung von Marx.
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(od. was dasselbe ist: Je weniger Marc Banco es für 100 Gulden giebt)
, desto günstiger ist derselbe zum Verkaufe (Trassiren).

Hat also Augsburg Schulden an Hamburg abzuzahlen, so muß es Gulden verkaufen u. Marc Banco kaufen. Dafür am besten direkte Rimessen auf Hamburg machen (Hamburger Wechsel remittiren) denn es erhält so für 87,7/8f. 100 M. Banco. Hat es aber eine Schuld auf Hamburg einzuziehn, so erhält es in Augsburg selbst nur 877/8f. für je 100 M.B., in Berlin 88,48 u.s.w.; am meisten aber in Amsterdam, für je 100 M.B. 89,36f. Es wird sich also kurz kurze Amsterdamer remittiren lassen.

Eine mit Hamburg zu machende Wechseloperation würde darin bestehn:

Augsburg läßt sich kurze Amsterdamer von Hamburg (à 35,70) remittiren u. wird die Deckung dafür in kurze Hamburger à 877/8 machen. Da 877/8 : 100 = 89,36 : x, und x = 101,69 = 1,69%, so wäre dieß der Bruttogewinn: Folgende Unkosten würden ihn vermindern: Courtage für den Einkauf des Hamburger in Augsburg u. für den Verkauf des Livorneser daselbst, 1‰ = 1/10%; Courtage für den Einkauf des Livorneser in Hamburg 1/2‰; Provision für diesen Einkauf u. für das Incasso der Hamburger Rimessen 1/3%, Zinsen 23/60%; Zinsverlust für 8 Tage à 5% pr. Jahr = 1/9%. Zusammen 107/180% od. 0,6%; 1,69% ÷ 0,6% = 1,09% Reingewinn.

2) Berlin u. Frankfurt.

In Frankfurt stehe der Kurs auf Berlin für k. S. 1043/4 (f. S.W. = 60 Th. Pr. C.)

Auf dem Berliner Kurszettel notirt:

Amsterdam 2 Mt. 1421/8 (Th. für 250f. holl.) Hamburg 2 Mt. 1497/8 (Th. für 300 M. Bc.) Paris 2 Mt. 793/8 (Th. für 300 Fcs) London 3 Mt. 6,195/8 (Th. für 1£)

Auf dem Frankfurter Kurszettel sind diese Plätze für Kurze Sicht notirt:

Amsterdam 993/4f. S.W. (für 100f. holl.) Hamburg 873/4 (f. S.W. (100 M.B.) Paris 931/8 (f. SW für 200 Fs) London 1171/8 (f. S.W. = 10£)
Für längre Sichten Discont von 31/2% 3% 31/2% 3%.

Kann Frankfurt nun die Vermittlung Berlins zum Kauf oder Verkauf benutzen?

Amsterdam. Hamburg. Paris. London
x f = 100f. holl. k. S. x f = 100 M. Bc. k. S. x f = 200 Fs k. S. x f = 10£ k. S.
995/12 = 100 2 Mt. 991/2f = 100 2 M. 995/12 = 100 2 Mt. 991/2 = 100£ 3 Mt.
250 = 1421/8 Th. 300 = 1497/8 Th. 300 = 793/8 Th. 1 = 6157/240 Th.
60 = 1043/4f. 60 = 1043/4f. 60 = 1043/4f. 60 = 1043/4f.
x = 99,83. x = 87,66 x = 93,17. x = 116,75.

Zusammenstellung der direkten u. indirekten Kurse.

Amsterdam. Hamburg. Paris. London.
Direkt: 99,75 87,75 93,13 117,13
Indirekt: 99,83. 87,66. 93,17. 116,75.

Wechsel auf Hamburg u. London in Berlin wohlfeiler, auf Amsterdam u. Paris theurer in Berlin, aber Differenz zu klein für Operation.

Höchstens Londoner Papier in Berlin. Differenz mit Frankfurt dort: 0,32% niedriger in Frankfurt.

2)  Feller/Odermann, S. 376.
Schließen
Benutzung der Vermittlung andrer Plätze
.

Bisher gezeigt, wie man sich 1) zur Zahlung oder  Feller/Odermann: Einziehung
Schließen
Einkassirung
einer Schuld
der Papiere fremder Plätze bedienen, u. wie man 2) Kauf od. Verkauf gewisser Wechselsorten durch Vermittlung Eines Platzes bewirken kann. Jezt: im ersten Fall 1) wie man sich der Vermittlung fremder Plätze bedienen, u. im 2. Fall 2) an die Stelle Eines Platzes mehrere Plätze setzen kann. Art der Fragstellung bleibt dieselbe. Nur kommen die Spesen hier in Betracht, welche die Plätze berechnen, deren Vermittlung wir uns bedienen. Die Benutzung der Papiere fremder Plätze kostet nur etwa die Courtage, die wir unserm Gläubiger, resp. Schuldner, dafür zu vergüten haben, daß er unsre Rimessen begiebt od. Wechsel für uns einkauft.

Beispiele.

1) Amsterdam hat in Hamburg M. Bco. 5000 – in 3 Mt. Papier zu zahlen, u. kann dieß zum Kurs von 3415/16f. = 100 M.B. thun. Wäre es nun vortheilhafter, diesen Betrag durch Paris, London, od. Frankfurt bezahlen zu lassen, wenn 3 Mt. Hamburger zu haben ist in Paris à 1883/8 Fs = 100 Marc Bc., London à 13. 53/4 Marc Banco = 1£, und Frankfurt 887/8 = 100 M. Bco. Spesen zu: Paris 5/8%, London 3/5% u. Frankfurt 13/30%.|

138
Paris. London. Frankfurt.
x f = 40 M. Bco. x f. = 40 M. Banco x f. = 40 M. Bc.
100 = 1883/8 Fcs 1323/64 = 1£ 100 = 887/8f. S.W.
120 = 551/16 f 1 = 11,75f. 100 = 991/2f. holländisch
x = 35,20 x = 35,18 x = 34,79
Spesen 0,22 à 5/8% Spesen 0,21 à 3/5% Spesen 0,15 à 13/30%
35,42. 35,39 35,12.

2) Wien hat (im Nov. 1858) 3 Mt. Londoner zu verkaufen, u. kann es an seiner Börse à 102.50f. = 10£ anbringen. In Hamburg ist es à 13.3 M.B. = 1£, Paris 24,90 Fcs = 1£ u. Frankfurt 1161/2f. = 10£ zu begeben, u. 3 Mt. Papier ist zu Wien notirt: auf Hamburg: 76,85f = 100 M.B.  Zusatz von Marx.
Schließen
(?)
, Paris 40.65f. = 100 Fcs u. Frankfurt 1161/2f. = 100f. S.W.

Geld mit 3% Discont Spesen23/60% 3% Discont. Spesen5/8% 5% Disct. Spesen3/10%.

Wo hat Wien das Londoner zu verkaufen?

Hamburg Paris. Frankfurt.
x f. = 1£ 3. Mt. x f. = 1£ 3. M. x f. = 1£ 3. Mt.
1 = 13.3 M.B. baar. 1 = 24,9 Fcs baar. 100 = 1161/2f. barr. baar.
991/4 = 100 Marc Bo. 3 Mt. 991/4 = 100 Fcs 3 Mt. 983/4 = 100f. 3 Mt.
100 = 76,85 Östr. W. 100 = 40,65f. Oest. W. 100 = 86,85f. Ö.W.
x = 102,11f. x = 101,98 x = 102,46
Spesen 0,39 à 23/60% Spesen: 0,64 à 5/8% Spesen = 0,31 à 3/10%
101,72. 101.34. 102,15.

In Wien direkt bekommt Wien 102.50f. für 10£, in Hamburg 102,11, in Paris 101,34 u. in Frankfurt 102,15. Es kann also die Vermittlung dieser Plätze zum Verkauf nicht benutzen.

3) London hat Amsterdamer 3 Mt. Papier zu verkaufen, u. kann dasselbe an seiner Börse à 11f. 171/2 St. (=1£) begeben.

In Hamburg ist es à 36f. = 40 M.B., Paris 2111/2 = 100f. Holl., u. Frankfurt 991/4 (= 100f. Holl.) für Kurze Sicht (mit 3% Discont für Frankfurt 3 Mt.)

London kann trassiren K. S. auf Hamburg 13.41/4 = 1£, Paris 25.121/2 = 1£ u. Frankfurt 117 = 10£.
Spesen 11/20% 5/8% 3/5%.

Wo soll London das Amsterdamer verkaufen?

Hamburg. Paris. Frankfurt.
x f = 1£ x f. = 1£ x f = 1£
1 = 13.41/4 M.B. 1 = 25,121/2 Fcs. 10 = 117f. S.W.
40 = 36f. 2111/2 = 100f. 981/2 = 100f. Holl. (3 Mt. Discont à 3%)
x = 11,94f. x = 11,88f. x = 11,88f.
Spesen = 0,06 à 11/20% Spesen = 0,07 à 5/8% Spesen = 0,07 à 3/5%
12f. 11,95f. 11,95f.

Nun kriegt London auf eigner Börse für 11f. 171/2 St. ein Pf = 1£. = für 11,875f. Holl. 1£. London kann nur an der eignen Börse mit Vortheil verkaufen, da es an den übrigen mehr holl. Gulden für 1£ geben muß.

Ferner in diesem letzten Beispiel zu bemerken:

Was London empfangen will sind £. Die Spesen sind hier zu addiren (d.h. es muß mehr f. für 1£ geben, so viel als die Spesen mehr kosten), mehr Gulden für 1£ (weil die Spesen hier in Gulden berechnet werden). Wien (Beispiel 2), welches ebenfalls £ zu verkaufen hatte, aber f. empfangen will, hat die Spesen zu subtrahiren. Es erhält weniger f. für 1£, während der Londoner mehr f. für 1£ geben muß. In beiden Fällen dasselbe Gesetz: Die Spesen verschlechtern den Kurs. Ist die feste Valuta im Ausland, so spricht sich dieß in einer Verminderung, ist sie im Inland in einer Vergrösserung der Kurszahl aus.

 Marx führte seine Exzerpte aus Feller/Odermann in „Heft II. 1869“ weiter.
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Continuatio 2 Heft 1869.
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Inhalt.

1) Money Market Review (1868) und „Economist“ (1868): Inhaltsregister (p. 87–89)

2) Goschen: Theory of Exchanges.

  • Definition. (90)
  • International Indebtedness (90)
  • Various Classes of Foreign Bills, in which Intern. Indebtedness is ultimately embodied. (90–93)
  • Fluctuations in the Price of Foreign Bills. (93–99)
  • Interpretation of Foreign Exchanges (99–104)
  • Socalled Correctives of Foreign Exchanges (104–109.)

3) Wechselrechnung.

  • Wechselrechnung überhaupt (109)
  • Parirechnung (109–110)
  • Wechselreductionen: Direkt (110–112) Indirekt (112–114)
  • Arbitragerechnung: Direkt (114–118) Indirekt (135–138)
  • Regel de Tri. Regel Multiplex (118, 119)
  • Kettenregel (118–121)
  • Gesellschaftsrechnung (121–123)
  • Alligationsrechnung (123–125)
  • Procentrechnung (125–127)
  • Zinsrechnung (127–131)
  • Discontrechnung (131–132)
  • Terminrechnung (132–134)

Inhalt:

  • Inhaltsverzeichnis von Friedrich Engels
  • 1869 I Heft
  • Money Market. 1868.
  • Money Market Review. Jahrgang 1868.
  • The Economist. Jahrgang 1868. Nachträge
    • The Economist. Jahrgang 1868.
    • Inhaltsregister für 1868 Jahrgang. („Money Market Review“ und „Economist“.)
    • Kommentar zu George Joachim Goschen
      • George J. Goschen: The Theory of the Foreign Exchange. 7th edit. London 1866.
      • Friedrich Ernst Feller, Carl Gustav Odermann: Das Ganze der kaufmännischen Arithmetik
      • Inhalt.